Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:eqdiff [2017/03/05 15:40] – Création avec "Équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants sans second membre" root
+++ math:eqdiff [2018/09/27 01:01] (Version actuelle) – Complétion du second ordre avec second membre root
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-[[http://www.unit.eu/cours/iutenligne/EDL_CoeffConstants.pdf|Source]], {{ :math:eqdiff:edl_coeffconstants.pdf |Archive}}
+[[http://www.unit.eu/cours/iutenligne/EDL_CoeffConstants.pdf|Equations différentielles linéaires à coefficients constants]], {{ :math:eqdiff:edl_coeffconstants.pdf |Archive 26/09/2018}} ou <del>[[https://www.math.u-psud.fr/~jennifer/Enseignement_files/Cours5.pdf|Fiche de cours 5 : Equations différentielles Linéaires]]</del>, {{ :math:eqdiff:cours5.pdf |Archive 26/09/2018}} ou [[https://moodle.insa-rouen.fr/pluginfile.php/80194/mod_resource/content/0/Fiche_equation_diff.pdf|Résolution d’équations différentielles linéaires du premier et second ordre à coefficients constants (INSA-Rouen)]], {{ :math:eqdiff:fiche_equation_diff.pdf |Archive 26/09/2018}} ou [[http://desaintar.free.fr/resumes/ED.pdf|Équations différentielles]] {{ :math:eqdiff:ed.pdf |Archive 26/09/2018}}.
-=====Équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants sans second membre=====
+=====Équation différentielle linéaire du premier ordre=====
+====Sans second membre====
+  * Équation
+$y' + a(x) \cdot y = 0$
-Équation : $ay' + by = 0$
+  * Solution
+$y_0(x) = k_0 \cdot e^{ -A }$ avec $A = \int a(x) dx$ et $k_0$ la condition initiale.
+====Avec second membre====
+  * Équation
+$y' + a(x) \cdot y = b(x)$
+  * Solution
+$y(x) = y_0(x) + \bar y(x) $ avec $\bar y(x) = \int \left ( b(x) \cdot e^A \right ) dx \cdot e^{-A}$, soit :
+$y(x) = e^{-A} \cdot \left (\int \left ( e^A \cdot b(x) \right ) dx + k_0 \right )$
+  * Démonstration
+Méthode de la variation de la constante. On remplace la constante de la formule sans second membre par une fonction à déterminer.
+$ \bar y(x) = K(x) \cdot e^{ -A(x) } $
+Et on remplace dans la formule avec second membre :
+$\begin{align}
+b & = \bar y' & + & a \cdot \bar y \\
+  & = K' \cdot e^{ -A } + K \cdot (-A' \cdot e^{ -A }) & + & a \cdot K \cdot e^{ -A } \\
+  & = K' \cdot e^{ -A } - a \cdot K \cdot e^{ -A } & + & a \cdot K \cdot e^{ -A } \\
+  & = K' \cdot e^{ -A }
+\end{align}$
+$K' = b \cdot e^A => K(x) = \int \left ( e^A \cdot b(x) \right ) dx$
+En remplaçant $K'$ dans la formule initiale, on obtient bien le résultat :
+$\bar y(x) = \int \left ( b(x) \cdot e^A \right ) dx \cdot e^{-A}$
+=====Équation différentielle linéaire du second ordre=====
+====Sans second membre====
+===Équation===
+$y'' + a \cdot y' + b = 0$
+===Solution===
+  * Discriminant
+$\Delta = \sqrt{a^2 - 4 \cdot b}$
+  * Racines
+$r_{1/2} = \frac{-a \pm \sqrt{\Delta}}{2}$
+  * Solution 1,
+    * si $a, b \in \mathbb C $ et $\Delta \neq 0$ ou,
+    * si $a, b \in \mathbb R $ et $r_1$ et $r_2$ réels et distincts
+$y(x) = A \cdot e^{r_1 x} + B \cdot e^{r_2 x}$
+  * Solution 2
+    * si $\Delta = 0$
+$y(x) = (A \cdot x + B) \cdot e ^ {rx}$
+  * Solution 3
+    * si $a, b \in \mathbb R $ et $r_1$ et $r_2$ complexes
+Soit $r_{1/2} = \alpha \pm i \beta$
+$y(x) = \left ( A \cdot cos(\beta \cdot x) + B \cdot sin(\beta \cdot x) \right ) \cdot e^{\alpha x}$
+Peu importe le signe de $\beta$, car A et B peuvent être négatifs.
+====Avec second membre====
+Il n'existe pas de solution générale. Cependant, la solution particulière peut être déduite de la forme du second membre.
+Les rubriques ci-dessous décrivent la forme du second membre $f(t)$ et la forme de la solution particulière associée $y_2(t)$.
+===Constante===
+Si le second membre est une constante, la solution particulière est une constante.
+$f(t) = a$
+$y_2(t) = b$
+===Polynôme du 1er degré===
+$f(t) = a \cdot t+b$
+$y_2(t) = c \cdot t+d$
+===Sinusoïdale de pulsation $\omega$===
+$f(t) = cos (\omega \cdot t)$
+$y_2(t) = K \cdot cos (\omega \cdot t + \phi)$
+===Exponentielle===
+$f(t) = e ^ {m \cdot t}$ avec $m \in \mathbb K$
+$y_2(t) = q \cdot e ^ {m \cdot t}$ si $m$ n'est pas racine de $X^2+a \cdot X+b$
+$y_2(t) = q \cdot t \cdot e ^ {m \cdot t}$ si $m$ est simple de $X^2+a \cdot X+b$
+$y_2(t) = q \cdot t^2 \cdot e ^ {m \cdot t}$ si $m$ est racine double de $X^2+a \cdot X+b$
-Solution : $k \cdot e^{\left ( -\frac{b}{a} \cdot x \right)}$