Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:eqdiff [2017/06/20 22:52] – Réécriture de "Équation différentielle linéaire du premier ordre" root
+++ math:eqdiff [2018/09/27 01:01] (Version actuelle) – Complétion du second ordre avec second membre root
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-[[http://www.unit.eu/cours/iutenligne/EDL_CoeffConstants.pdf|Source 1]], {{ :math:eqdiff:edl_coeffconstants.pdf |Archive 1}} ou [[https://www.math.u-psud.fr/~jennifer/Enseignement_files/Cours5.pdf|Source 2]], {{ :math:eqdiff:cours5.pdf |Archive 2}}
+[[http://www.unit.eu/cours/iutenligne/EDL_CoeffConstants.pdf|Equations différentielles linéaires à coefficients constants]], {{ :math:eqdiff:edl_coeffconstants.pdf |Archive 26/09/2018}} ou <del>[[https://www.math.u-psud.fr/~jennifer/Enseignement_files/Cours5.pdf|Fiche de cours 5 : Equations différentielles Linéaires]]</del>, {{ :math:eqdiff:cours5.pdf |Archive 26/09/2018}} ou [[https://moodle.insa-rouen.fr/pluginfile.php/80194/mod_resource/content/0/Fiche_equation_diff.pdf|Résolution d’équations différentielles linéaires du premier et second ordre à coefficients constants (INSA-Rouen)]], {{ :math:eqdiff:fiche_equation_diff.pdf |Archive 26/09/2018}} ou [[http://desaintar.free.fr/resumes/ED.pdf|Équations différentielles]] {{ :math:eqdiff:ed.pdf |Archive 26/09/2018}}.
 =====Équation différentielle linéaire du premier ordre=====
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 $\bar y(x) = \int \left ( b(x) \cdot e^A \right ) dx \cdot e^{-A}$
-=====Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants sans second membre=====
+=====Équation différentielle linéaire du second ordre=====
-Équation : $ay'' + by' + c = 0$
+====Sans second membre====
+===Équation===
+$y'' + a \cdot y' + b = 0$
+===Solution===
+  * Discriminant
+$\Delta = \sqrt{a^2 - 4 \cdot b}$
+  * Racines
+$r_{1/2} = \frac{-a \pm \sqrt{\Delta}}{2}$
+  * Solution 1,
+    * si $a, b \in \mathbb C $ et $\Delta \neq 0$ ou,
+    * si $a, b \in \mathbb R $ et $r_1$ et $r_2$ réels et distincts
+$y(x) = A \cdot e^{r_1 x} + B \cdot e^{r_2 x}$
+  * Solution 2
+    * si $\Delta = 0$
+$y(x) = (A \cdot x + B) \cdot e ^ {rx}$
+  * Solution 3
+    * si $a, b \in \mathbb R $ et $r_1$ et $r_2$ complexes
+Soit $r_{1/2} = \alpha \pm i \beta$
+$y(x) = \left ( A \cdot cos(\beta \cdot x) + B \cdot sin(\beta \cdot x) \right ) \cdot e^{\alpha x}$
+Peu importe le signe de $\beta$, car A et B peuvent être négatifs.
+====Avec second membre====
+Il n'existe pas de solution générale. Cependant, la solution particulière peut être déduite de la forme du second membre.
+Les rubriques ci-dessous décrivent la forme du second membre $f(t)$ et la forme de la solution particulière associée $y_2(t)$.
+===Constante===
+Si le second membre est une constante, la solution particulière est une constante.
+$f(t) = a$
+$y_2(t) = b$
+===Polynôme du 1er degré===
+$f(t) = a \cdot t+b$
+$y_2(t) = c \cdot t+d$
+===Sinusoïdale de pulsation $\omega$===
+$f(t) = cos (\omega \cdot t)$
+$y_2(t) = K \cdot cos (\omega \cdot t + \phi)$
-Discriminant $\Delta = \sqrt{b^2 - 4ac}$
+===Exponentielle===
-Racines : $r_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
+$f(t) = e ^ {m \cdot t}$ avec $m \in \mathbb K$
-Solution 1 : $r_1$ et $r_2$ réels et distincts : $y(x) = A \cdot e^{r_1 x} + B \cdot e^{r_2 x}$
+$y_2(t) = q \cdot e ^ {m \cdot t}$ si $m$ n'est pas racine de $X^2+a \cdot X+b$
-Solution 2 : $r_1$ et $r_2$ réels et identiques : $y(x) = (A \cdot x + B) \cdot e ^ {r_1x}$
+$y_2(t) = q \cdot t \cdot e ^ {m \cdot t}$ si $m$ est simple de $X^2+a \cdot X+b$
-Solution 3 : $r_1$ et $r_2$ complexes ($r_{1/2} = \alpha \pm i \beta$) : $y(x) = \left ( A \cdot cos(\beta x) + B \cdot sin(\beta x) \right ) \cdot e^{\alpha x}$. Attention au signe de $\beta$.
+$y_2(t) = q \cdot t^2 \cdot e ^ {m \cdot t}$ si $m$ est racine double de $X^2+a \cdot X+b$