math:eqdiff
Différences
Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.
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| math:eqdiff [2017/06/20 22:52] – Réécriture de "Équation différentielle linéaire du premier ordre" root | math:eqdiff [2018/09/27 01:01] (Version actuelle) – Complétion du second ordre avec second membre root | ||
|---|---|---|---|
| Ligne 1: | Ligne 1: | ||
| - | [[http:// | + | [[http:// |
| =====Équation différentielle linéaire du premier ordre===== | =====Équation différentielle linéaire du premier ordre===== | ||
| Ligne 38: | Ligne 38: | ||
| $\bar y(x) = \int \left ( b(x) \cdot e^A \right ) dx \cdot e^{-A}$ | $\bar y(x) = \int \left ( b(x) \cdot e^A \right ) dx \cdot e^{-A}$ | ||
| - | =====Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants sans second membre===== | + | =====Équation différentielle linéaire du second ordre===== |
| - | Équation | + | ====Sans second membre==== |
| + | ===Équation=== | ||
| + | $y'' | ||
| + | |||
| + | ===Solution=== | ||
| + | * Discriminant | ||
| + | |||
| + | $\Delta = \sqrt{a^2 - 4 \cdot b}$ | ||
| + | |||
| + | * Racines | ||
| + | |||
| + | $r_{1/2} = \frac{-a \pm \sqrt{\Delta}}{2}$ | ||
| + | |||
| + | * Solution 1, | ||
| + | * si $a, b \in \mathbb C $ et $\Delta \neq 0$ ou, | ||
| + | * si $a, b \in \mathbb R $ et $r_1$ et $r_2$ réels et distincts | ||
| + | $y(x) = A \cdot e^{r_1 x} + B \cdot e^{r_2 x}$ | ||
| + | |||
| + | * Solution 2 | ||
| + | * si $\Delta = 0$ | ||
| + | $y(x) = (A \cdot x + B) \cdot e ^ {rx}$ | ||
| + | |||
| + | * Solution 3 | ||
| + | * si $a, b \in \mathbb R $ et $r_1$ et $r_2$ complexes | ||
| + | Soit $r_{1/2} = \alpha \pm i \beta$ | ||
| + | |||
| + | $y(x) = \left ( A \cdot cos(\beta \cdot x) + B \cdot sin(\beta \cdot x) \right ) \cdot e^{\alpha x}$ | ||
| + | |||
| + | Peu importe le signe de $\beta$, car A et B peuvent être négatifs. | ||
| + | |||
| + | ====Avec second membre==== | ||
| + | Il n' | ||
| + | |||
| + | Les rubriques ci-dessous décrivent la forme du second membre $f(t)$ et la forme de la solution particulière associée $y_2(t)$. | ||
| + | |||
| + | ===Constante=== | ||
| + | Si le second membre est une constante, la solution particulière est une constante. | ||
| + | |||
| + | $f(t) = a$ | ||
| + | |||
| + | $y_2(t) = b$ | ||
| + | |||
| + | ===Polynôme du 1er degré=== | ||
| + | |||
| + | $f(t) = a \cdot t+b$ | ||
| + | |||
| + | $y_2(t) = c \cdot t+d$ | ||
| + | |||
| + | ===Sinusoïdale de pulsation $\omega$=== | ||
| + | |||
| + | $f(t) = cos (\omega \cdot t)$ | ||
| + | |||
| + | $y_2(t) = K \cdot cos (\omega \cdot t + \phi)$ | ||
| - | Discriminant $\Delta | + | ===Exponentielle=== |
| - | Racines : $r_{1/ | + | $f(t) = e ^ {m \cdot t}$ avec $m \in \mathbb K$ |
| - | Solution 1 : $r_1$ et $r_2$ réels et distincts : $y(x) = A \cdot e^{r_1 x} + B \cdot e^{r_2 x}$ | + | $y_2(t) = q \cdot e ^ {m \cdot t}$ si $m$ n'est pas racine de $X^2+a \cdot X+b$ |
| - | Solution 2 : $r_1$ et $r_2$ réels et identiques : $y(x) = (A \cdot x + B) \cdot e ^ {r_1x}$ | + | $y_2(t) = q \cdot t \cdot e ^ {m \cdot t}$ si $m$ est simple de $X^2+a \cdot X+b$ |
| - | Solution 3 : $r_1$ et $r_2$ complexes ($r_{1/2} = \alpha \pm i \beta$) : $y(x) = \left ( A \cdot cos(\beta x) + B \cdot sin(\beta x) \right ) \cdot e^{\alpha x}$. Attention au signe de $\beta$. | + | $y_2(t) = q \cdot t^2 \cdot e ^ {m \cdot t}$ si $m$ est racine double |
math/eqdiff.1497991969.txt.gz · Dernière modification : de root