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math:matrices:definitions

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math:matrices:definitions [2019/02/08 10:26] – Ajout de quelques égalités rootmath:matrices:definitions [2019/04/23 19:41] (Version actuelle) – [Propriétés] : ajout de "2 matrices semblables" root
Ligne 9: Ligne 9:
 ====Propriétés==== ====Propriétés====
 ===Valeur propre=== ===Valeur propre===
-|Si $A$ triangulaire|Les valeurs propres sont sur la diagonale.|+^Si^Alors^ 
 +|$A$ triangulaire|Les valeurs propres sont sur la diagonale.| 
 +|Matrice inversible \\ Matrice régulière \\ Matrice non singulière |$det(A) \neq 0$ \\ Pas de valeur propre nulle| 
 +|Matrice définie positive|Toutes les valeurs propres sont strictement positives.| 
 +|Matrice symétrique ($\in \mathbb R$)|Les valeurs propres sont réelles.| 
 +|2 matrices semblables|Les deux matrices ont les mêmes valeurs propres.| 
  
 ===Déterminant=== ===Déterminant===
Ligne 18: Ligne 24:
 ===Matrice=== ===Matrice===
 ^Expression^Définition^ ^Expression^Définition^
-|Matrice définie positive|Toutes les valeurs propres sont strictement positives.| 
-|Matrice inversible \\ Matrice régulière \\ Matrice non singulière |$det(A) \neq 0$ \\ Pas de valeur propre nulle| 
 |Matrice symétrique ($\in \mathbb R$)|$A = {}^t\!A$| |Matrice symétrique ($\in \mathbb R$)|$A = {}^t\!A$|
-|Matrice hermitienne (symétrie avec $A \in \mathbb C$)|$A = {}^t\!\overline{A}$|+|Matrice hermitienne \\ (symétrie avec $A \in \mathbb C$)|$A = {}^t\!\overline{A}$|
 |Matrice orthogonale|${}^t\!A = A^{-1}$| |Matrice orthogonale|${}^t\!A = A^{-1}$|
 +|Matrice normale, \\ est diagonalisable|${}^t\!A A = A {}^t\!A$|
 +|Matrice à diagonale \\ strictement dominante|$\forall j \in [1,N], \sum_{i=1,i \neq j}^N |a_{ji}| < |a_{ii}|$|
 |Matrice involutive|$A^2 = I_N$| |Matrice involutive|$A^2 = I_N$|
-|Si matrice triangulaire|Les valeurs propres sont sur la diagonale.|+|Norme matricielle subordonnée|$|||A|||$|
  
-|Soit|On vérifie|+^Soit^On vérifie^
 |$A = B × C$|${}^t\!A = {}^t\!C × {}^t\!B$| |$A = B × C$|${}^t\!A = {}^t\!C × {}^t\!B$|
  
 ====Calculs==== ====Calculs====
- 
-$\|A\|_p = \left ( \sum_{i,j=1}^N |a_{ij}|^p \right )^{1/p}$ 
- 
-$\|A\|_2 = Tr({}^t\!A A)^{1/2}$ 
- 
- 
 $|Tr({}^t\!B A)| = |Tr({}^t\!A B)| \le Tr({}^t\!A A)^{1/2}Tr({}^t\!B B)^{1/2}$ $|Tr({}^t\!B A)| = |Tr({}^t\!A B)| \le Tr({}^t\!A A)^{1/2}Tr({}^t\!B B)^{1/2}$
  
 +Rayon de Gershgorin : soit $\lambda$ une valeur propre de $A$. Soit $x$ le vecteur propre associé. Soit ${}_i$ l'indice du max de $|x|$.
 +
 +$|A_{ii}-\lambda| \le \sum_{j \neq i}|A_{ij}|$
  
 ===Produit scalaire=== ===Produit scalaire===
Ligne 46: Ligne 49:
 \end{align*} \end{align*}
 $ $
 +
 +===Norme matricielle vectorielle===
 +
 +$\|A\|_p = \left ( \sum_{i,j=1}^N |a_{ij}|^p \right )^{1/p}$
 +
 +$\|A\|_2 = Tr({}^t\!A A)^{1/2}$
 +
 +
 +===Norme matricielle subordonnée===
 +$|||A|||_p = \underset{x \neq 0 \in \mathbb R^N}{sup} \frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p}$ avec x le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre.
 +
 +$|||AB|||_p \le |||A|||_p \cdot |||B|||_p$
 +
 +$|||\lambda A|||_p = |\lambda| \cdot |||A|||_p$
 +
 +$|||A+B|||_p \le |||A|||_p+|||B|||_p$
 +
 +$|||A|||_1 = $ max de la somme de chaque colonne, chaque cellule en valeur absolue.
 +
 +$|||A|||_\infty = $ max de la somme de chaque ligne, chaque cellule en valeur absolue.
 +
 +Si A symétrique : $|||A|||_2 = $ max de la valeur propre en valeur absolue.
 +
 +===Calibre spectral===
 +$C(A)^2 \le |||A|||_p |||{}^t\!A|||_p$
 +
 +$C(A) = |||A|||_2 \ge \underset{j=1,N}{max \lambda_j}$. Vaut l'égalité si A est diagonalisable. Mais dans ce cas, on utilise $\varrho(A)$ qui est le rayon spectral.
  
math/matrices/definitions.1549617983.txt.gz · Dernière modification : de root