Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:matrices:definitions [2019/02/08 20:36] – [Propriétés] : ajout de "Matrice normale" root
+++ math:matrices:definitions [2019/04/23 19:41] (Version actuelle) – [Propriétés] : ajout de "2 matrices semblables" root
@@ Ligne 9: / Ligne 9: @@
 ====Propriétés====
 ===Valeur propre===
-|Si $A$ triangulaire|Les valeurs propres sont sur la diagonale.|
+^Si^Alors^
+|$A$ triangulaire|Les valeurs propres sont sur la diagonale.|
+|Matrice inversible \\ Matrice régulière \\ Matrice non singulière |$det(A) \neq 0$ \\ Pas de valeur propre nulle|
+|Matrice définie positive|Toutes les valeurs propres sont strictement positives.|
+|Matrice symétrique ($\in \mathbb R$)|Les valeurs propres sont réelles.|
+|2 matrices semblables|Les deux matrices ont les mêmes valeurs propres.|
 ===Déterminant===
@@ Ligne 18: / Ligne 24: @@
 ===Matrice===
 ^Expression^Définition^
-|Matrice définie positive|Toutes les valeurs propres sont strictement positives.|
-|Matrice inversible \\ Matrice régulière \\ Matrice non singulière |$det(A) \neq 0$ \\ Pas de valeur propre nulle|
 |Matrice symétrique ($\in \mathbb R$)|$A = {}^t\!A$|
-|Matrice hermitienne (symétrie avec $A \in \mathbb C$)|$A = {}^t\!\overline{A}$|
+|Matrice hermitienne \\ (symétrie avec $A \in \mathbb C$)|$A = {}^t\!\overline{A}$|
 |Matrice orthogonale|${}^t\!A = A^{-1}$|
 |Matrice normale, \\ est diagonalisable|${}^t\!A A = A {}^t\!A$|
+|Matrice à diagonale \\ strictement dominante|$\forall j \in [1,N], \sum_{i=1,i \neq j}^N |a_{ji}| < |a_{ii}|$|
 |Matrice involutive|$A^2 = I_N$|
-|Si matrice triangulaire|Les valeurs propres sont sur la diagonale.|
 |Norme matricielle subordonnée|$|||A|||$|
-|Soit|On vérifie|
+^Soit^On vérifie^
 |$A = B × C$|${}^t\!A = {}^t\!C × {}^t\!B$|
 ====Calculs====
+$|Tr({}^t\!B A)| = |Tr({}^t\!A B)| \le Tr({}^t\!A A)^{1/2}Tr({}^t\!B B)^{1/2}$
+Rayon de Gershgorin : soit $\lambda$ une valeur propre de $A$. Soit $x$ le vecteur propre associé. Soit ${}_i$ l'indice du max de $|x|$.
+$|A_{ii}-\lambda| \le \sum_{j \neq i}|A_{ij}|$
+===Produit scalaire===
+$
+\begin{align*}
+{}^t\!xAy &= \left( {}^t\!Ax \right) \cdot y = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i y_j
+\end{align*}
+$
+===Norme matricielle vectorielle===
 $\|A\|_p = \left ( \sum_{i,j=1}^N |a_{ij}|^p \right )^{1/p}$
@@ Ligne 38: / Ligne 57: @@
-$|Tr({}^t\!B A)| = |Tr({}^t\!A B)| \le Tr({}^t\!A A)^{1/2}Tr({}^t\!B B)^{1/2}$
+===Norme matricielle subordonnée===
-===Norme matricielle===
 $|||A|||_p = \underset{x \neq 0 \in \mathbb R^N}{sup} \frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p}$ avec x le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre.
-$|||AB||| \le |||A||| \cdot |||B|||$
+$|||AB|||_p \le |||A|||_p \cdot |||B|||_p$
-$|||\lambda A||| = |\lambda| \cdot |||A|||$
+$|||\lambda A|||_p = |\lambda| \cdot |||A|||_p$
-$|||A+B||| \le |||A|||+|||B|||$
+$|||A+B|||_p \le |||A|||_p+|||B|||_p$
 $|||A|||_1 = $ max de la somme de chaque colonne, chaque cellule en valeur absolue.
@@ Ligne 55: / Ligne 72: @@
 Si A symétrique : $|||A|||_2 = $ max de la valeur propre en valeur absolue.
-===Produit scalaire===
+===Calibre spectral===
+$C(A)^2 \le |||A|||_p |||{}^t\!A|||_p$
-$
+$C(A) = |||A|||_2 \ge \underset{j=1,N}{max \lambda_j}$. Vaut l'égalité si A est diagonalisable. Mais dans ce cas, on utilise $\varrho(A)$ qui est le rayon spectral.
-\begin{align*}
-{}^t\!xAy &= \left( {}^t\!Ax \right) \cdot y = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i y_j
-\end{align*}
-$