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math:matrices:propres

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math:matrices:propres [2019/02/22 20:44] – Création avec "Définition" rootmath:matrices:propres [2020/04/27 08:05] (Version actuelle) – Conversion de <note> vers <WRAP> root
Ligne 7: Ligne 7:
  
 Dans le cas d'une matrice diagonale, les valeurs propres sont sur la diagonale. Dans le cas d'une matrice diagonale, les valeurs propres sont sur la diagonale.
 +
 +====Itérative, algorithme élémentaire====
 +Condition : $A$ diagonalisable, valeurs propres distinctes.
 +
 +Si une valeur propre est double, il faudra itérer non pas sur un vecteur mais sur un sous espèce (plusieurs vecteurs) et obtenir ainsi une matrice de covariance.
 +
 +<WRAP center round info 60%>
 +TODO : à détailler.
 +</WRAP>
 +
 +===Méthode basique===
 +
 +$$X^{n+1/2} = (A - μ I)^{-1} X^n$$
 +
 +avec $μ$ une valeur proche de la valeur propre à trouver et $X^0$ une valeur approchée du vecteur propre et $(X^0, \omega)$.
 +
 +L'algorithme convergera vers $min |\lambda_i - μ|$.
 +
 +Généralement, on prend $μ$ à 0 pour la recherche de la première valeur propre.
 +
 +$$X^n = \frac{X^{n+1/2}}{\left\|X^{n+1/2}\right\|}$$
 +
 +$$R^n = (X^{n+1/2},X^n)$$
 +
 +La valeur propre vaut $\lambda = \frac{1}{R^{\infty}} + μ$ et le vecteur propre vaut $\omega = X^n$.
 +
 +En prenant $(A - μ I)^{-1}$, on va trouver le $\lambda$ le plus petit.
 +
 +Il est aussi possible de prendre $(A - μ I)$. Dans ce cas, on va trouver le $\lambda$ le plus grand avec $\lambda = R^{\infty} + μ$ et $\omega = X^n$.
 +
 +Exemple :
 +
 +$$A =
 +\begin{pmatrix}
 +3 & 1 & 1 \\
 +1 & 4 & 2 \\
 +1 & 2 & 4 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +On pose $μ = 1$.
 +
 +$$(A - μ I)^{-1} =
 +\begin{pmatrix}
 + 0.625 & -0.125 & -0.125 \\
 +-0.125 &  0.625 & -0.375 \\
 +-0.125 & -0.375 &  0.625 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +On pose $$\omega =
 +\begin{pmatrix}
 +1 \\
 +2 \\
 +4 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{1/2} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.125 \\
 +-0.375 \\
 + 1.625 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^1 =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.074744 \\
 +-0.224231 \\
 + 0.971666 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^5 =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.067514 \\
 +-0.685836 \\
 + 0.724618 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{40} = \lambda =
 +\begin{pmatrix}
 + 0 \\
 +-0.707107 \\
 + 0.707107 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$R^{40} = 1$$
 +
 +$$\lambda = \frac{1}{1} + 1 = 2$$
 +
 +===Accélération===
 +On peut accélérer la convergence :
 +
 +$$X^{n+1/2} = (A - μ I)^{-1} \left( 1 + \frac{1}{R^n} \right) X^n$$
 +
 +Exemple :
 +
 +$$A =
 +\begin{pmatrix}
 +3 & 1 & 1 \\
 +1 & 4 & 2 \\
 +1 & 2 & 4 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +On pose $μ = 1$.
 +
 +$$(A - μ I)^{-1} =
 +\begin{pmatrix}
 + 0.625 & -0.125 & -0.125 \\
 +-0.125 &  0.625 & -0.375 \\
 +-0.125 & -0.375 &  0.625 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +On pose $$\omega =
 +\begin{pmatrix}
 +1 \\
 +2 \\
 +4 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +On norme $\omega$.
 +
 +$$X^{0} =
 +\begin{pmatrix}
 +0.218218 \\
 +0.436436 \\
 +0.872872 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{1/2} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.027277 \\
 +-0.081832 \\
 + 0.354604 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$R^1 = 0.267857$$
 +
 +On ne connait pas $R^0$.
 +
 +$$X^1 =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.074744 \\
 +-0.224231 \\
 + 0.971666 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{1+1/2} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.663349 \\
 +-2.34393 \\
 + 3.31674 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$R^{2} = 3.79791$$
 +
 +$$X^{2} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.161197 \\
 +-0.569563 \\
 + 0.805986 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$R^{3} = 1.23655$$
 +
 +$$X^{3} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.132438 \\
 +-0.648537 \\
 + 0.749573 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +
 +$$R^{5} = 1.55162$$
 +
 +$$X^{5} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.067514 \\
 +-0.685836 \\
 + 0.724618 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +On converge légèrement plus vite en 35 itérations.
 +
 +===Recherche de la valeur propre suivante et supérieure===
 +
 +$$X^{n+1/4} = (A - μ I)^{-1} X^n$$
 +
 +$$X^{n+1/2} = X^{n+1/4} - (X^{n+1/4}, \omega) \omega$$
 +
 +Exemple :
 +
 +$$A =
 +\begin{pmatrix}
 +3 & 1 & 1 \\
 +1 & 4 & 2 \\
 +1 & 2 & 4 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +On pose $μ = 1$.
 +
 +$$(A - μ I)^{-1} =
 +\begin{pmatrix}
 + 0.625 & -0.125 & -0.125 \\
 +-0.125 &  0.625 & -0.375 \\
 +-0.125 & -0.375 &  0.625 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$\omega =
 +\begin{pmatrix}
 + 0 \\
 +-0.707107 \\
 + 0.707107 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{0} =
 +\begin{pmatrix}
 +0.218218 \\
 +0.436436 \\
 +0.872872 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{0+1/4} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.027277 \\
 +-0.081832 \\
 + 0.354604 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{0+1/2} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.085728 \\
 +-0.198734 \\
 + 0.120799 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{1} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.345867 \\
 +-0.801784 \\
 + 0.487359 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{5} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.931698 \\
 +-0.256854 \\
 + 0.256854 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{13} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.92941 \\
 +-0.260956 \\
 + 0.260956 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$R^{13} = 0.695194$$
 +
 +Soit $\lambda_2 = 2.43845$
math/matrices/propres.1550864684.txt.gz · Dernière modification : 2019/02/22 20:44 de root