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math:matrices:propres

Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

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math:matrices:propres [2019/03/04 09:42] – [Itérative, algorithme élémentaire] : ajout de la méthode accélérée rootmath:matrices:propres [2020/04/27 08:05] (Version actuelle) – Conversion de <note> vers <WRAP> root
Ligne 9: Ligne 9:
  
 ====Itérative, algorithme élémentaire==== ====Itérative, algorithme élémentaire====
-Condition : $A$ matrice symétrique.+Condition : $A$ diagonalisable, valeurs propres distinctes. 
 + 
 +Si une valeur propre est double, il faudra itérer non pas sur un vecteur mais sur un sous espèce (plusieurs vecteurs) et obtenir ainsi une matrice de covariance. 
 + 
 +<WRAP center round info 60%> 
 +TODO : à détailler. 
 +</WRAP>
  
 ===Méthode basique=== ===Méthode basique===
Ligne 15: Ligne 21:
 $$X^{n+1/2} = (A - μ I)^{-1} X^n$$ $$X^{n+1/2} = (A - μ I)^{-1} X^n$$
  
-avec $μ$ une valeur proche de la valeur propre à trouver avec $μ < \lambda$ et $X^0$ une valeur approchée du vecteur propre et $(X^0, \omega)$.+avec $μ$ une valeur proche de la valeur propre à trouver et $X^0$ une valeur approchée du vecteur propre et $(X^0, \omega)$. 
 + 
 +L'algorithme convergera vers $min |\lambda_i - μ|$. 
 + 
 +Généralement, on prend $μ$ à 0 pour la recherche de la première valeur propre.
  
 $$X^n = \frac{X^{n+1/2}}{\left\|X^{n+1/2}\right\|}$$ $$X^n = \frac{X^{n+1/2}}{\left\|X^{n+1/2}\right\|}$$
Ligne 21: Ligne 31:
 $$R^n = (X^{n+1/2},X^n)$$ $$R^n = (X^{n+1/2},X^n)$$
  
-La valeur propre vaut $\lambda * \frac{1}{R^{\infty}} + μ$ et le vecteur propre vaut $\lambda = X^n$.+La valeur propre vaut $\lambda = \frac{1}{R^{\infty}} + μ$ et le vecteur propre vaut $\omega = X^n$. 
 + 
 +En prenant $(A - μ I)^{-1}$, on va trouver le $\lambda$ le plus petit. 
 + 
 +Il est aussi possible de prendre $(A - μ I)$. Dans ce cas, on va trouver le $\lambda$ le plus grand avec $\lambda = R^{\infty} + μ$ et $\omega = X^n$.
  
 Exemple : Exemple :
Ligne 173: Ligne 187:
  
 On converge légèrement plus vite en 35 itérations. On converge légèrement plus vite en 35 itérations.
 +
 +===Recherche de la valeur propre suivante et supérieure===
 +
 +$$X^{n+1/4} = (A - μ I)^{-1} X^n$$
 +
 +$$X^{n+1/2} = X^{n+1/4} - (X^{n+1/4}, \omega) \omega$$
 +
 +Exemple :
 +
 +$$A =
 +\begin{pmatrix}
 +3 & 1 & 1 \\
 +1 & 4 & 2 \\
 +1 & 2 & 4 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +On pose $μ = 1$.
 +
 +$$(A - μ I)^{-1} =
 +\begin{pmatrix}
 + 0.625 & -0.125 & -0.125 \\
 +-0.125 &  0.625 & -0.375 \\
 +-0.125 & -0.375 &  0.625 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$\omega =
 +\begin{pmatrix}
 + 0 \\
 +-0.707107 \\
 + 0.707107 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{0} =
 +\begin{pmatrix}
 +0.218218 \\
 +0.436436 \\
 +0.872872 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{0+1/4} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.027277 \\
 +-0.081832 \\
 + 0.354604 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{0+1/2} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.085728 \\
 +-0.198734 \\
 + 0.120799 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{1} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.345867 \\
 +-0.801784 \\
 + 0.487359 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{5} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.931698 \\
 +-0.256854 \\
 + 0.256854 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$X^{13} =
 +\begin{pmatrix}
 +-0.92941 \\
 +-0.260956 \\
 + 0.260956 \\
 +\end{pmatrix}$$
 +
 +$$R^{13} = 0.695194$$
 +
 +Soit $\lambda_2 = 2.43845$
math/matrices/propres.1551688930.txt.gz · Dernière modification : 2019/03/04 09:42 de root