Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:matrices:propres [2019/03/04 10:38] – Ajout de l'exemple pour trouver la prochaine valeur propre root
+++ math:matrices:propres [2020/04/27 08:05] (Version actuelle) – Conversion de <note> vers <WRAP> root
@@ Ligne 9: / Ligne 9: @@
 ====Itérative, algorithme élémentaire====
-Condition : $A$ matrice symétrique.
+Condition : $A$ diagonalisable, valeurs propres distinctes.
+Si une valeur propre est double, il faudra itérer non pas sur un vecteur mais sur un sous espèce (plusieurs vecteurs) et obtenir ainsi une matrice de covariance.
+<WRAP center round info 60%>
+TODO : à détailler.
+</WRAP>
 ===Méthode basique===
@@ Ligne 15: / Ligne 21: @@
 $$X^{n+1/2} = (A - μ I)^{-1} X^n$$
-avec $μ$ une valeur proche de la valeur propre à trouver avec $μ < \lambda$ et $X^0$ une valeur approchée du vecteur propre et $(X^0, \omega)$.
+avec $μ$ une valeur proche de la valeur propre à trouver et $X^0$ une valeur approchée du vecteur propre et $(X^0, \omega)$.
+L'algorithme convergera vers $min |\lambda_i - μ|$.
+Généralement, on prend $μ$ à 0 pour la recherche de la première valeur propre.
 $$X^n = \frac{X^{n+1/2}}{\left\|X^{n+1/2}\right\|}$$
@@ Ligne 21: / Ligne 31: @@
 $$R^n = (X^{n+1/2},X^n)$$
-La valeur propre vaut $\lambda * \frac{1}{R^{\infty}} + μ$ et le vecteur propre vaut $\lambda = X^n$.
+La valeur propre vaut $\lambda = \frac{1}{R^{\infty}} + μ$ et le vecteur propre vaut $\omega = X^n$.
+En prenant $(A - μ I)^{-1}$, on va trouver le $\lambda$ le plus petit.
+Il est aussi possible de prendre $(A - μ I)$. Dans ce cas, on va trouver le $\lambda$ le plus grand avec $\lambda = R^{\infty} + μ$ et $\omega = X^n$.
 Exemple :