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math:matrices:systeme_lineaire:directe

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math:matrices:systeme_lineaire:directe [2019/03/17 19:05] – [Principe de la décomposition en deux matrices LU] : ajout du code python rootmath:matrices:systeme_lineaire:directe [2020/04/28 23:00] (Version actuelle) – mhtml -> html root
Ligne 1: Ligne 1:
- 
 =====Systèmes linéaires===== =====Systèmes linéaires=====
 ====Résolution==== ====Résolution====
Ligne 30: Ligne 29:
 Puis on applique le même principe avec la matrice supérieure $U$ pour déterminer le vecteur $x$. Puis on applique le même principe avec la matrice supérieure $U$ pour déterminer le vecteur $x$.
  
-Implémentation en python : +Implémentation en python pour la résolution d'un système $Ax=b$
 <code python> <code python>
 import numpy as np import numpy as np
Ligne 85: Ligne 83:
 fsub(np.array([[1, 0, 0, 0],[2, 0, 0, 0],[1, 1, 1, 0],[1, 1, 1, 1]]), np.array([1, 2, 3, 4])) fsub(np.array([[1, 0, 0, 0],[2, 0, 0, 0],[1, 1, 1, 0],[1, 1, 1, 1]]), np.array([1, 2, 3, 4]))
 </code> </code>
 +
 +Implémentation en python pour inverser une matrice. On applique le même algorithme ci-dessus mais avec B matrice identité.
 +<code python>
 +import numpy as np
 +import math
 +import cmath
 +
 +def pivotgauss(A):
 +    if len(A) != len(A[0]):
 +        raise ValueError('La matrice n''est pas carrée.')
 +    
 +    N = len(A)
 +    B = np.identity(N, dtype=np.float64)
 +    for i in range(0, N):
 +        
 +        indice = np.argmax(np.abs(A[i:,i]))
 +
 +        if (A[i+indice, i+indice] == 0):
 +            A.fill(np.NaN)
 +#           C'est inacceptable car on inverse la matrice (cf. tp2).
 +            return (0, A)
 +        
 +        A[[i,i+indice]] = A[[i+indice,i]]
 +        B[[i,i+indice]] = B[[i+indice,i]]
 +        
 +        for j in range(i+1, N):
 +            multiplicateur = A[j][i]/A[i][i]
 +            B[j,:] -= B[i,:]*multiplicateur
 +            A[j][i:] -= A[i][i:]*multiplicateur
 +        
 +        B[i,:] /= A[i,i]
 +        A[i,:] /= A[i,i]
 +    
 +    for i in range(N-1, -1, -1):
 +        for j in range(0, i):
 +            B[j,:] -= A[j, i]*B[i,:]
 +    return (1, B)
 +</code>
 +
 +
 +===Pivot===
 +
 +La méthode du pivot a deux intérêts : éviter une division par 0 (voir ci-dessus) et réduire les erreurs numériques en triant les pivots par ordre décroissant.
 +
 +Ci-dessous l'algorithme applique la méthode du pivot en même temps que la triangularisation.
 +
 +Pour chaque colonne, on cherche la plus grande valeur absolue dans le triangle qu'on veut annuler et on inclut la diagonale. On permute la ligne puis on applique des permutations de lignes pour annuler toutes les valeurs de la colonne et la diagonale.
 +
 +<code python>
 +import numpy as np
 +
 +def pivotgauss(A, b):
 +    if len(A) != len(A[0]):
 +        raise ValueError('La matrice n''est pas carrée.')
 +    if len(A) != len(b):
 +        raise ValueError('La matrice A et le vecteur b n''ont pas la même dimension.')
 +    
 +    N = len(A)
 +    for i in range(0, N):
 +        
 +        indice = np.argmax(np.abs(A[i:,i]))
 +
 +        if (A[i+indice, i+indice] == 0):
 +#           C'est acceptable car c'est bsub qui déterminera
 +#           Si c'est aucune solution ou une infinité (cf. tp3).
 +            continue
 +        
 +        A[[i,i+indice]] = A[[i+indice,i]]
 +        b[i], b[i+indice] = b[i+indice], b[i]
 +        
 +        for j in range(i+1, N):
 +            multiplicateur = A[j][i]/A[i][i]
 +            b[j] = b[j] - b[i]*multiplicateur
 +            A[j][i:] = A[j][i:] - A[i][i:]*multiplicateur
 +</code>
 +
 +Triangularisation :
 +<code python>
 +def gauss(A, b):
 +    pivotgauss(A, b)
 +    (x, sol) = bsub(A, b)
 +    return (x, sol)
 +</code>
 +
 +[[https://asi.insa-rouen.fr/enseignement/siteUV/ananum/04syslindirect.pdf|Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes : Gauss, LU]] {{ math:matrices:systeme_lineaire:directe:04syslindirect.pdf |Archive 14/10/2018}}
 +
 +Exemple :
 +
 +[[https://www2.mat.ulaval.ca/fileadmin/Cours/MAT-2910/A-11/Solution_3.pdf|Université Laval]] avec une matrice $4*4$ {{ math:matrices:systeme_lineaire:directe:solution_3.pdf |Archive 14/10/2018}}
 +
 ====Méthode de Gauss / Crout : LU (A non symétrique)==== ====Méthode de Gauss / Crout : LU (A non symétrique)====
-Valable pour une matrice carrée définie positive.+A doit être inversible (pas de pivot nul).
  
 Étape 1 : Étape 1 :
Ligne 124: Ligne 212:
 Si l'un des $l_{jj}$ vaut 0, il faut appliquer un pivot. Si l'un des $l_{jj}$ vaut 0, il faut appliquer un pivot.
  
-[[https://asi.insa-rouen.fr/enseignement/siteUV/ananum/04syslindirect.pdf|Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes : Gauss, LU]] {{ math:matrices:systeme_lineaire:directe:04syslindirect.pdf |Archive 14/10/2018}}+Implémentation du code en python :
  
-Exemple :+<code python> 
 +def factorlu(A): 
 +    L = np.identity(len(A)) 
 +    U = A.copy() 
 + 
 +    for j in range(len(A)): 
 +         
 +        if (U[j][j] == 0): 
 +            L.fill(np.nan) 
 +            U.fill(np.nan) 
 +            return (L,U,0) 
 + 
 +        for i in range(j+1,len(A)): 
 +            L[i,j]=U[i][j]/U[j][j] 
 +            U[i,j:] -=L[i,j]*U[j,j:] 
 +             
 +    return (L,U,1) 
 +</code>
  
-[[https://www2.mat.ulaval.ca/fileadmin/Cours/MAT-2910/A-11/Solution_3.pdf|Université Laval]] avec une matrice $4*4$ {{ math:matrices:systeme_lineaire:directe:solution_3.pdf |Archive 14/10/2018}} 
 ====Méthode de Crout : CDtC (A symétrique)==== ====Méthode de Crout : CDtC (A symétrique)====
 Valable pour une matrice carrée symétrique définie positive. Valable pour une matrice carrée symétrique définie positive.
Ligne 154: Ligne 258:
 Méthode : Méthode :
  
-[[https://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition#The_Cholesky_algorithm|The Cholesky algorithm]] {{ math:matrices:systeme_lineaire:directe:cholesky_decomposition_-_wikipedia.mhtml |Archive 17/10/2018}}+[[https://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition#The_Cholesky_algorithm|The Cholesky algorithm]] {{ :math:matrices:systeme_lineaire:directe:cholesky_decomposition_-_wikipedia_2020-04-28_10_55_30_pm_.html |Archive du 13/04/2020 le 28/04/2020}}
  
 Soit Soit
Ligne 322: Ligne 426:
  
 $L = \begin{pmatrix} \sqrt 4 = 2 & 0 & 0 \\ \frac{12}{2} = 6 & \sqrt{37-6^2} = 1 & 0 \\ \frac{-16}{2} = -8 & \frac{-43-(-8)*6}{1} = 5 & \sqrt{98-8^2-5^2} = 3 \end{pmatrix}$ $L = \begin{pmatrix} \sqrt 4 = 2 & 0 & 0 \\ \frac{12}{2} = 6 & \sqrt{37-6^2} = 1 & 0 \\ \frac{-16}{2} = -8 & \frac{-43-(-8)*6}{1} = 5 & \sqrt{98-8^2-5^2} = 3 \end{pmatrix}$
 +
 +Implémentation en python :
 +
 +<code python>
 +def cholesky(A):
 +    n = len(A)
 +    L = np.zeros((n,n), dtype=np.complex64)
 +    L[0,0] = cmath.sqrt(A[0,0])
 +    L[1:,0] = A[1:,0]/L[0,0]
 +
 +    for j in range(1,n):
 +        if (not np.isreal(A[j, j])):
 +# Matrice A non hermitienne
 +            L.fill(np.nan)
 +            return (L,-1)
 +
 +        carre = A[j,j] - np.dot(L[j,:j],L[j,:j].transpose().conjugate())
 +        if (carre <= 0):
 +# Matrice non définie strictement positive
 +            L.fill(np.nan)
 +            return (L,0)
 +        L[j,j] = cmath.sqrt(carre)
 +
 +        for i in range(j+1,n):
 +            if (A[i,j] != np.conjugate(A[j,i])):
 +# Matrice A non hermitienne
 +                L.fill(np.nan)
 +                return (L,0)
 +            L[i,j]=(A[i,j]-np.dot(L[i,:i],L[j,:i].transpose().conjugate()))/L[j,j]
 +
 +    return (L,1)
 +
 +
 +A4 = np.array(
 +        [[  4,  12, -16],
 +         [ 12,  37, -43+2j],
 +         [-16, -43-2j,  98]], dtype=np.complex64)
 +(L, sol) = cholesky(A4)
 +print ("L",L)
 +print ("sol",sol)
 +print (L.dot(L.transpose().conjugate()))
 +</code>
  
 ====QR (A non symétrique) méthode Householder==== ====QR (A non symétrique) méthode Householder====
Ligne 347: Ligne 493:
 $$Q = \prod_{k=1}^{N-1}Q_i$$ $$Q = \prod_{k=1}^{N-1}Q_i$$
  
-[[https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_QR|Décomposition QR]] {{ :math:matrices:systeme_lineaire:directe:decomposition_qr_wikipedia.mhtml |Archive du 06/02/2019}}+[[https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_QR|Décomposition QR]] {{ :math:matrices:systeme_lineaire:directe:decomposition_qr_wikipedia_2020-04-28_10_55_29_pm_.html |Archive du 16/05/2019 le 28/04/2020}}
  
 [[http://metronu.ulb.ac.be/MATH-H-202/an_ch3.pdf|Factorisation QR et systèmes surdéterminés]] {{ :math:matrices:systeme_lineaire:directe:an_ch3.pdf |Archive du 06/02/2019}} [[http://metronu.ulb.ac.be/MATH-H-202/an_ch3.pdf|Factorisation QR et systèmes surdéterminés]] {{ :math:matrices:systeme_lineaire:directe:an_ch3.pdf |Archive du 06/02/2019}}
math/matrices/systeme_lineaire/directe.1552845949.txt.gz · Dernière modification : 2019/03/17 19:05 de root