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=====Systèmes linéaires=====
====Résolution====
Soit le système linéaire $AX=b$ avec $A$ matrice carrée $N \times N$ et $b$ et $X$ vecteurs de $\mathbb R^N$

Peut se résoudre si $det A \neq 0$.

====Méthode des cofacteurs====
Soit on détermine $A^{-1}$, on obtient $X = A^{-1}b$.

$$A^{-1}=\frac 1 {\det A} \,^{t}\!{\rm {com} A}$$

Dans la pratique, cette méthode est trop longue et inappliquée.

====Principe de la décomposition en deux matrices LU====
$$A = LU$$
  * $L$ matrice triangulaire inférieure,
  * $U$ matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale.

On détermine $LY=b$ puis $UX=Y$.

Lorsque L est déterminée, on ne peut calculer $y_i$ que si les $y_i$ inférieurs sont calculés :

$$y_i = \frac{b_i - \sum_{j=1}^{i-1}l_{i,j}y_j}{l_{ii}}$$

Si $l_{i,i} = 0$, deux possibilités : le numérateur de $y_i$ est différent de 0 alors, il n'y a aucune solution. Si le numérateur vaut 0, alors, il y a une infinité de résultats et on peut mettre n'importe quelle valeur à $y_i$.

Complexité : $N^2/2$ multiplications et additions, $N$ divisions.

Puis on applique le même principe avec la matrice supérieure $U$ pour déterminer le vecteur $x$.

Implémentation en python pour la résolution d'un système $Ax=b$
<code python>
import numpy as np

def fsub(A,b):
    if len(A) != len(A[0]):
        raise ValueError('La matrice n''est pas carrée.')
    if len(A) != len(b):
        raise ValueError('La matrice A et le vecteur b n''ont pas la même dimension.')

    N = len(A)
    x = np.empty(N)
    sol = 1
    for i in range(0, N):
        somme = b[i] - np.sum(A[i][0:i] * x[0:i])
        if somme != 0 and A[i][i] == 0:
            return 0, np.nan
        if somme == 0 and A[i][i] == 0:
            x[i] = 0
            sol = -1
        else:
            x[i] = somme / A[i][i]
    
    return sol, x

def bsub(A,b):
    if len(A) != len(A[0]):
        raise ValueError('La matrice n''est pas carrée.')
    if len(A) != len(b):
        raise ValueError('La matrice A et le vecteur b n''ont pas la même dimension.')
    
    N = len(A)
    x = np.empty(N)
    sol = 1
    for i in range(N - 1, -1, -1):
        if A[i][i] == 0:
            determinant_null = True
        somme = b[i] - np.sum(A[i][i+1:N] * x[i+1:N])
# Pas de solution
        if somme != 0 and A[i][i] == 0:
            return 0, np.nan
# Infinité de solutions
        if somme == 0 and A[i][i] == 0:
            x[i] = 0
            sol = -1
        else:
            x[i] = somme / A[i][i]
    
    return sol, x

fsub(np.array([[1, 0, 0, 0],[1, 1, 0, 0],[1, 1, 1, 0],[1, 1, 1, 1]]), np.array([1, 2, 3, 4]))
fsub(np.array([[1, 0, 0, 0],[1, 0, 0, 0],[1, 1, 1, 0],[1, 1, 1, 1]]), np.array([1, 2, 3, 4]))
fsub(np.array([[1, 0, 0, 0],[2, 0, 0, 0],[1, 1, 1, 0],[1, 1, 1, 1]]), np.array([1, 2, 3, 4]))
</code>

Implémentation en python pour inverser une matrice. On applique le même algorithme ci-dessus mais avec B matrice identité.
<code python>
import numpy as np
import math
import cmath

def pivotgauss(A):
    if len(A) != len(A[0]):
        raise ValueError('La matrice n''est pas carrée.')
    
    N = len(A)
    B = np.identity(N, dtype=np.float64)
    for i in range(0, N):
        
        indice = np.argmax(np.abs(A[i:,i]))

        if (A[i+indice, i+indice] == 0):
            A.fill(np.NaN)
#           C'est inacceptable car on inverse la matrice (cf. tp2).
            return (0, A)
        
        A[[i,i+indice]] = A[[i+indice,i]]
        B[[i,i+indice]] = B[[i+indice,i]]
        
        for j in range(i+1, N):
            multiplicateur = A[j][i]/A[i][i]
            B[j,:] -= B[i,:]*multiplicateur
            A[j][i:] -= A[i][i:]*multiplicateur
        
        B[i,:] /= A[i,i]
        A[i,:] /= A[i,i]
    
    for i in range(N-1, -1, -1):
        for j in range(0, i):
            B[j,:] -= A[j, i]*B[i,:]
    return (1, B)
</code>


===Pivot===

La méthode du pivot a deux intérêts : éviter une division par 0 (voir ci-dessus) et réduire les erreurs numériques en triant les pivots par ordre décroissant.

Ci-dessous l'algorithme applique la méthode du pivot en même temps que la triangularisation.

Pour chaque colonne, on cherche la plus grande valeur absolue dans le triangle qu'on veut annuler et on inclut la diagonale. On permute la ligne puis on applique des permutations de lignes pour annuler toutes les valeurs de la colonne et la diagonale.

<code python>
import numpy as np

def pivotgauss(A, b):
    if len(A) != len(A[0]):
        raise ValueError('La matrice n''est pas carrée.')
    if len(A) != len(b):
        raise ValueError('La matrice A et le vecteur b n''ont pas la même dimension.')
    
    N = len(A)
    for i in range(0, N):
        
        indice = np.argmax(np.abs(A[i:,i]))

        if (A[i+indice, i+indice] == 0):
#           C'est acceptable car c'est bsub qui déterminera
#           Si c'est aucune solution ou une infinité (cf. tp3).
            continue
        
        A[[i,i+indice]] = A[[i+indice,i]]
        b[i], b[i+indice] = b[i+indice], b[i]
        
        for j in range(i+1, N):
            multiplicateur = A[j][i]/A[i][i]
            b[j] = b[j] - b[i]*multiplicateur
            A[j][i:] = A[j][i:] - A[i][i:]*multiplicateur
</code>

Triangularisation :
<code python>
def gauss(A, b):
    pivotgauss(A, b)
    (x, sol) = bsub(A, b)
    return (x, sol)
</code>

[[https://asi.insa-rouen.fr/enseignement/siteUV/ananum/04syslindirect.pdf|Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes : Gauss, LU]] {{ math:matrices:systeme_lineaire:directe:04syslindirect.pdf |Archive 14/10/2018}}

Exemple :

[[https://www2.mat.ulaval.ca/fileadmin/Cours/MAT-2910/A-11/Solution_3.pdf|Université Laval]] avec une matrice $4*4$ {{ math:matrices:systeme_lineaire:directe:solution_3.pdf |Archive 14/10/2018}}

====Méthode de Gauss / Crout : LU (A non symétrique)====
A doit être inversible (pas de pivot nul).

Étape 1 :
$$
\begin{align*}
&j = 1 \\
&i = 1 \quad &l_{jj} &= a_{jj} \\
&\forall i \in [2,N] \quad &u_{ji} &= \frac{a_{ji}}{l_{jj}}
\end{align*}
$$

Étape 2 :
$$
\begin{align}
\forall j &\in [2,N-1] : \\
i &= 1 \quad & l_{ji} &= a_{ji} \\
\forall &i \in [2, j] \quad & l_{ji} &= a_{ji} - \sum_{k=1}^{i-1}l_{jk}u_{ki} \\
\forall &i \in [j+1, N] \quad & u_{ji} &= \frac{a_{ji} - \sum_{k=1}^{j-1}l_{jk}u_{ki}}{l_{jj}}
\end{align}
$$

Étape 3:
$$
\begin{align}
\forall i &\in [1,N] : \\
j &= N \\
l_{ji} &= a_{ji} - \sum_{k=1}^{i-1}l_{jk}u_{ki} \\
\end{align}
$$

Complexité : $\frac{N^3}{3}$ multiplications, $N$ divisions.

[[math:matrices:systeme_lineaire:directe#bibliographie|[1]]] §2.2 L'algorithme de Gauss.

[[https://www.code-aster.org/V2/doc/v11/fr/man_r/r6/r6.02.01.pdf|À propos des méthodes de décomposition de type GAUSS]] {{ math:matrices:systeme_lineaire:directe:r6.02.01.pdf |Archive 14/10/2018}}

Si l'un des $l_{jj}$ vaut 0, il faut appliquer un pivot.

Implémentation du code en python :

<code python>
def factorlu(A):
    L = np.identity(len(A))
    U = A.copy()

    for j in range(len(A)):
        
        if (U[j][j] == 0):
            L.fill(np.nan)
            U.fill(np.nan)
            return (L,U,0)

        for i in range(j+1,len(A)):
            L[i,j]=U[i][j]/U[j][j]
            U[i,j:] -=L[i,j]*U[j,j:]
            
    return (L,U,1)
</code>

====Méthode de Crout : CDtC (A symétrique)====
Valable pour une matrice carrée symétrique définie positive.

$$A = C D {}^t C$$
  * $C$ matrice triangulaire inférieure ayant des 1 sur la diagonale.
  * $D$ matrice diagonale

Soit $\forall i \in [1,N]$
$$
d_i = a_{ii} - \sum_{j=1}^{i-1} l_{ij}^2 d_j \\
\forall j \in [i+1,N]\\
l_{ji} = (a_{ji} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{jk} l_{ik} d_k)/d_i
$$

Exemple :
[[https://asi.insa-rouen.fr/enseignement/siteUV/ananum/05syslindirect.pdf|Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes : LDL’ et Choleski]] en page 14 {{ math:matrices:systeme_lineaire:directe:05syslindirect.pdf |Archive 14/10/2018}}

====Méthode de Cholesky : HtH (A symétrique)====
Valable pour une matrice carrée symétrique définie positive.

$$A = H {}^t H$$
  * $H$ matrice triangulaire inférieure.

Méthode :

[[https://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition#The_Cholesky_algorithm|The Cholesky algorithm]] {{ :math:matrices:systeme_lineaire:directe:cholesky_decomposition_-_wikipedia_2020-04-28_10_55_30_pm_.html |Archive du 13/04/2020 le 28/04/2020}}

Soit
$$A^i=
\begin{pmatrix}
I_{i-1} & 0       & 0 \\
0       & a_{i,i} & b_i^T \\
0       & b_i     & B^i
\end{pmatrix}$$

$$L_i:=
\begin{pmatrix}
I_{i-1} & 0                          & 0 \\
0       & \sqrt{a_{i,i}}             & 0 \\
0       & \frac{b_i}{\sqrt{a_{i,i}}} & I_{n-i}
\end{pmatrix}$$

$$
A^{i+1}=
\begin{pmatrix}
I_{i-1} & 0 & 0 \\
0       & 1 & 0 \\
0       & 0 & B^i - \frac{b_i b_i^T}{a_{i,i}}
\end{pmatrix}
$$

Exemple :

$$
A = A^1=
\begin{pmatrix}
4   &  12 & -16 \\
12  &  37 & -43 \\
-16 & -43 &  98
\end{pmatrix}
$$

$$
L_1=
\begin{pmatrix}
\sqrt4             & 0 & 0 \\
\frac{12}{\sqrt4}  & 1 & 0 \\
\frac{-16}{\sqrt4} & 0 & 1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 2 & 0 & 0 \\
 6 & 1 & 0 \\
-8 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

$$
A^2=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & B^1 - \frac{b_1 b_1^T}{a_{1,1}} & \cdots \\
0 & \vdots & \ddots
\end{pmatrix}

\quad

B^1=
\begin{pmatrix}
 37 & -43 \\
-43 & 98
\end{pmatrix}

\quad

b_1=\begin{pmatrix}
 12 \\
-16
\end{pmatrix}

\quad

A^2=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 5 \\
0 & 5 & 34
\end{pmatrix}
$$

$$
L_2=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \sqrt1 & 0 \\
0 & \frac{5}{\sqrt1} & 1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 5 & 1
\end{pmatrix}
$$

$$
A^3=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & B^2 - b_2 b_2^T
\end{pmatrix}

\quad

B^2=
\begin{matrix}
34
\end{matrix}

\quad

b_2=\begin{matrix}
 5
\end{matrix}

\quad

A^3=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 9
\end{pmatrix}
$$

$$
L_3=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \sqrt9
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}$$

$$
L = L_1 L_2 L_3 = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
6 & 1 & 0 \\
-8 & 5 & 3
\end{pmatrix}
$$

====Méthode de Cholesky-Crout : HtH (A symétrique)====

$$
\begin{align*}
\forall i &\in [1,N] \\

j &= i \quad & L_{j,j} &= \sqrt{ A_{j,j} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{j,k}^2 } \\

\forall j &\in [1,i-1] \quad & L_{i,j} &= \frac{1}{L_{j,j}} \left( A_{i,j} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{i,k} L_{j,k} \right)

\end{align*}
$$

Exemple :

$A = \begin{pmatrix} 4   &  12 & -16 \\ 12  &  37 & -43 \\ -16 & -43 &  98 \\ \end{pmatrix}$

$L = \begin{pmatrix} \sqrt 4 = 2 & 0 & 0 \\ \frac{12}{2} = 6 & \sqrt{37-6^2} = 1 & 0 \\ \frac{-16}{2} = -8 & \frac{-43-(-8)*6}{1} = 5 & \sqrt{98-8^2-5^2} = 3 \end{pmatrix}$

Implémentation en python :

<code python>
def cholesky(A):
    n = len(A)
    L = np.zeros((n,n), dtype=np.complex64)
    L[0,0] = cmath.sqrt(A[0,0])
    L[1:,0] = A[1:,0]/L[0,0]

    for j in range(1,n):
        if (not np.isreal(A[j, j])):
# Matrice A non hermitienne
            L.fill(np.nan)
            return (L,-1)

        carre = A[j,j] - np.dot(L[j,:j],L[j,:j].transpose().conjugate())
        if (carre <= 0):
# Matrice non définie strictement positive
            L.fill(np.nan)
            return (L,0)
        L[j,j] = cmath.sqrt(carre)

        for i in range(j+1,n):
            if (A[i,j] != np.conjugate(A[j,i])):
# Matrice A non hermitienne
                L.fill(np.nan)
                return (L,0)
            L[i,j]=(A[i,j]-np.dot(L[i,:i],L[j,:i].transpose().conjugate()))/L[j,j]

    return (L,1)


A4 = np.array(
        [[  4,  12, -16],
         [ 12,  37, -43+2j],
         [-16, -43-2j,  98]], dtype=np.complex64)
(L, sol) = cholesky(A4)
print ("L",L)
print ("sol",sol)
print (L.dot(L.transpose().conjugate()))
</code>

====QR (A non symétrique) méthode Householder====
$QR = A$ avec R matrice diagonale supérieure et Q matrice orthogonale.

Soit $A_0 = A$

$\alpha_i = A_{i-1}[1]$ avec $A[1]$ correspondant à la première colonne de $A$ et $i \in [1,N-1]$.

$v_i = \alpha_i \pm \|\alpha_i\| e_1 $ avec $e_1$ vecteur nul sauf la première ligne vaut 1. Le signe à prendre est le même que la première ligne de $A[1]$ pour éviter une valeur nulle.

$$Q_i = I - 2 \frac{v_i v_i^t }{\|v_i\|_2^2}$$

$$A_i = \prod_{k=i-1}^{1}Q_i A$$

$$A_i=
\begin{pmatrix}
U_{i-1} & B       \\
0       & A_{i+1} \\
\end{pmatrix}$$
avec $U_x$ : matrice triangulaire supérieure de dimension $x$, et $b$ vecteur.

$$R = A_{N-1}$$

$$Q = \prod_{k=1}^{N-1}Q_i$$

[[https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_QR|Décomposition QR]] {{ :math:matrices:systeme_lineaire:directe:decomposition_qr_wikipedia_2020-04-28_10_55_29_pm_.html |Archive du 16/05/2019 le 28/04/2020}}

[[http://metronu.ulb.ac.be/MATH-H-202/an_ch3.pdf|Factorisation QR et systèmes surdéterminés]] {{ :math:matrices:systeme_lineaire:directe:an_ch3.pdf |Archive du 06/02/2019}}

Exemple :

$$A=A_0=
\begin{pmatrix}
12 & -51 &   4 \\
 6 & 167 & -68 \\
-4 &  24 & -41 \\
\end{pmatrix}$$

$$\alpha_1 =
\begin{pmatrix}
12 \\
 6 \\
-4 \\
\end{pmatrix}$$

$$\|\alpha_1\| = 14$$

$$v_1 = \alpha_1 \pm \|\alpha_1\| e_1 = 
\begin{pmatrix}
26 \\
 6 \\
-4 \\
\end{pmatrix}$$

$$Q_1 = I - 2 \frac{v_1 v_1^T}{\|v_1\|_2^2} =
\begin{pmatrix}
-6/7 & -3/7 & 2/7 \\
-3/7 & 82/91 & 6/91 \\
2/7 & 6/91 & 87/91 \\
\end{pmatrix}$$

$$A_1 = Q_1 A_0 = \begin{pmatrix}
-14 & -21 & 14 \\
  0 & 2261/13 & -854/13 \\
  0 & 252/13 & -553/13 \\
\end{pmatrix}$$

$$\alpha_2 =
\begin{pmatrix}
2261/13 \\
252/13 \\
\end{pmatrix}$$

$$\|\alpha_2\| = 175$$

$$v_2 = \alpha_2 \pm \|\alpha_2\| e_1 = 
\begin{pmatrix}
4536/13 \\
 252/13 \\
\end{pmatrix}$$

$$Q_2 = I - 2 \frac{v_2 v_2^T}{\|v_2\|_2^2} =
\begin{pmatrix}
-323/325 & -36/325 \\
-36/325 & 323/325 \\
\end{pmatrix}$$

$$R = A_2 = Q_2 A_1 =  \begin{pmatrix}
-14 & -21 & 14 \\
  0 & -175 & 70 \\
  0 & 0 & -35 \\
\end{pmatrix}$$

$$Q = \begin{pmatrix}
-6/7 & -3/7 & 2/7 \\
-3/7 & 82/91 & 6/91 \\
2/7 & 6/91 & 87/91 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -323/325 & -36/325 \\
0 & -36/325 & 323/325 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-6/7 & 69/175 & 58/175 \\
-3/7 & -158/175 & -6/175 \\
2/7 & -6/35 & 33/35 \\
\end{pmatrix}$$

====QR (A non symétrique) méthode Gram-Schmidt====
$\forall i \in [1,N]$

$a_i$ les vecteurs colonnes de A.

$u_i = a_i - \sum_{j=1}^{i-1} (a_i \cdot e_j) e_j$

$e_i = \frac{u_i}{\|u_i\|}$

$Q = \left[e_1 | … | e_N \right]$

$
\begin{align}
& \forall i > j & R_{i,j} = 0 \\
& \forall i \le j & R_{i,j} = a_j e_i \\
\end{align}
$

[[https://www.math.ucla.edu/~yanovsky/Teaching/Math151B/handouts/GramSchmidt.pdf|QR Decomposition with Gram-Schmidt]] {{ :math:matrices:systeme_lineaire:directe:gramschmidt.pdf |Archive du 16/02/2019}}

Exemple :

$$A=
\begin{pmatrix}
12 & -51 &   4 \\
 6 & 167 & -68 \\
-4 &  24 & -41 \\
\end{pmatrix}$$

$$u_1 = \begin{pmatrix}
12 \\
 6 \\
-4 \\
\end{pmatrix}$$

$$\|u_1\| = 14$$

$$e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \begin{pmatrix}
 6/7 \\
 3/7 \\
-2/7 \\
\end{pmatrix}$$

$$a_2 \cdot e_1 = (-51)*6/7 + 167 * 3/7 + 24 * (-2) / 7 = 21$$

$$u_2 = a_2 - (a_2 \cdot e_1) e_1 =
\begin{pmatrix}
-51 - 21 * 6 / 7 \\
167 - 21 * 3 / 7 \\
 24 - 21 * (-2) / 7 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-69 \\
158 \\
30 \\
\end{pmatrix}
$$

$$\|u_2\| = 175$$

$$e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|}$$

$$a_3 \cdot e_1 = 4 * 6 / 7 + (-68) * 3 / 7 + (-41) * (-2) / 7 = -14$$

$$a_3 \cdot e_2 = 4 * (-69) / 175 + (-68) * 158 / 175 + (-41) * 30 / 175 = -70$$

$$u_3 = a_3 - (a_3 \cdot e_1) e_1 - (a_3 \cdot e_2) e_2 =
\begin{pmatrix}
  4 - (-14) * 6 / 7    - (-70) * (-69) / 175 \\
-68 - (-14) * 3 / 7    - (-70) * 158   / 175 \\
-41 - (-14) * (-2) / 7 - (-70) * 30    / 175 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-58 / 5 \\
6/5 \\
-33 \\
\end{pmatrix}
$$

$$\|u_3\| = 35$$

$$e_3 = \frac{u_3}{\|u_3\|}$$

$$Q =
\begin{pmatrix}
6/7  & -69/175 & -58/175 \\
3/7  & 158/175 &   6/175 \\
-2/7 &   6/ 35 & -33/ 35 \\
\end{pmatrix}
$$

$$R =
\begin{pmatrix}
14 &  21 & -14 \\
0  & 175 & -70 \\
0  &   0 & 35 \\
\end{pmatrix}
$$

====QR (A non symétrique) méthode Givens====

$\forall j \in [1,N-1]$ avec j désignant les colonnes.

$\forall i \in [j+1,N]$ par ordre décroissant avec désignant les lignes.

On cherche donc à annuler chaque terme sur le triangle inférieur.

Au départ $R_{1,N}$ vaut A.

$r_{i,j} = \sqrt{\left ( R^{ij}_{i,j} \right ) ^ 2 + \left ( R^{ij}_{i-1,j} \right ) ^ 2}$

On calcule la matrice de rotation $G^{i,j}$ : vaut la matrice identité sauf :
$$G_{i,i} = \frac{R_{i-1,j}}{r_{i,j}}$$
$$G_{i-1,i-1} = \frac{R_{i-1,j}}{r_{i,j}}$$
$$G_{i,i-1} = -\frac{R_{i,j}}{r_{i,j}}$$
$$G_{i-1,i} = \frac{R_{i,j}}{r_{i,j}}$$

Le $R^{(n+1)}$ suivant vaut $G*R^{(n)}$.

[[http://www.cs.nthu.edu.tw/~cherung/teaching/2008cs3331/chap4%20example.pdf|An Example of QR Decomposition]] {{ :math:matrices:systeme_lineaire:directe:chap4_example.pdf |Archive du 17/02/2019}}

[[http://www.cs.rpi.edu/~flaherje/pdf/lin13.pdf|The QR Reduction]] {{ :math:matrices:systeme_lineaire:directe:lin13.pdf |Archive du 17/02/2019}}

Exemple :

$$R^{(0)} = A=
\begin{pmatrix}
12 & -51 &   4 \\
 6 & 167 & -68 \\
-4 &  24 & -41 \\
\end{pmatrix}$$

$i=3, j=1$

$r_{3,1} = \sqrt{(-4)^2+6^2} = 2 \sqrt{13}$

$$G^{(1)} =
\begin{pmatrix}
1 &   0   &   0 \\
0 &   \frac{G^{(0)}_{i-1,j}}{r_{3,1}}   &   \frac{G^{(0)_{i,j}}}{r_{3,1}} \\
0 &   -\frac{G^{(0)}_{i,j}}{r_{3,1}}   &   \frac{G^{(0)}_{i-1,j}}{r_{3,1}} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 &   0   &   0 \\
0 &   \frac{6}{2 \sqrt{13}}   &   \frac{-4}{2 \sqrt{13}} \\
0 &   -\frac{-4}{2 \sqrt{13}}   &   \frac{6}{2 \sqrt{13}} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 &   0   &   0 \\
0 &   \frac{3}{\sqrt{13}}   &   \frac{-2}{\sqrt{13}} \\
0 &   \frac{2}{\sqrt{13}}   &   \frac{3}{\sqrt{13}} \\
\end{pmatrix}
$$

$$R^{(1)} = G^{(1)} R^{(0)} =
\begin{pmatrix}
12          & -51           & 4 \\
2 \sqrt{13} & 453/\sqrt{13} & -122/\sqrt{13} \\
0           & 406/\sqrt{13} & -259/\sqrt{13} \\
\end{pmatrix}
$$

$i=2, j=1$

$r_{2,1} = \sqrt{(12)^2+(2 \sqrt{13})^2} = 14$

$$G^{(2)} =
\begin{pmatrix}
\frac{G^{(0)}_{i-1,j}}{r_{2,1}} &   \frac{G^{(0)_{i,j}}}{r_{2,1}}   &   0 \\
-\frac{G^{(0)}_{i,j}}{r_{2,1}} &   \frac{G^{(0)}_{i-1,j}}{r_{2,1}}   &  0  \\
0 &   0   &  1  \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{12}{14} &   \frac{2 \sqrt{13}}{14}   &   0 \\
-\frac{2 \sqrt{13}}{14} &   \frac{12}{14}   &  0  \\
0 &   0   &  1  \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{6}{7} &   \frac{\sqrt{13}}{7}   &   0 \\
-\frac{\sqrt{13}}{7} &   \frac{6}{7}   &  0  \\
0 &   0   &  1  \\
\end{pmatrix}
$$

$$R^{(2)} = G^{(2)} R^{(1)} =
\begin{pmatrix}
14 & 21            & -14 \\
0  & 483/\sqrt{13} & -122/\sqrt{13} \\
0  & 406/\sqrt{13} & -259/\sqrt{13} \\
\end{pmatrix}
$$

$i=3, j=2$

$r_{3,2} = \sqrt{(483/\sqrt{13})^2+(406/\sqrt{13})^2} = 175$

$$G^{(3)} =
\begin{pmatrix}
1 &   0   &   0 \\
0 &   \frac{G^{(0)}_{i-1,j}}{r_{3,2}}   &   \frac{G^{(0)_{i,j}}}{r_{3,2}} \\
0 &   -\frac{G^{(0)}_{i,j}}{r_{3,2}}   &   \frac{G^{(0)}_{i-1,j}}{r_{3,2}} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0                & 0 \\
0 & \frac{483/\sqrt{13}}{175}  & \frac{406/\sqrt{13}}{175} \\
0 & -\frac{406/\sqrt{13}}{175} & \frac{483/\sqrt{13}}{175} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0                & 0 \\
0 & \frac{69}{25\sqrt{13}}  & \frac{58}{25\sqrt{13}} \\
0 & -\frac{58}{25\sqrt{13}} & \frac{69}{25\sqrt{13}} \\
\end{pmatrix}
$$




$$R^{(2)} = G^{(2)} R^{(1)} =
\begin{pmatrix}
14 &  21 & -14 \\
0  & 175 & -70 \\
0  &  0  & -35 \\
\end{pmatrix}
$$

=====Bibliographie=====
<blockquote>[1] : DESTUYNDER, Philippe. Méthodes numériques pour l'ingénieur. Lavoisier, 2010, 248 pages.

[2] : Timothy, Vismor. [[https://vismor.com/download/Documents/Network_Analysis/matrix_algorithms.pdf|Matrix Algorithms]]. January 30, 2015, 69 pages. {{ math:matrices:systeme_lineaire:directe:matrix_algorithms.pdf |Archive 11/11/2018}}
</blockquote>