====Déterminant d'une matrice carrée====
$$\det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{i;j} (-1)^{i+j}\det(A_{i,j})$$
  * $A_{i,j}$ la matrice $A$ sans la ligne $i$ et la colonne $j$,
  * $det(A)$ si $A$ est de dimension $2 \times 2 : a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}$.

Inconvénient : il faut $N.N!$ multiplications.

[[https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_du_d%C3%A9terminant_d%27une_matrice|Calcul du déterminant d'une matrice]] {{ :math:matrices:determinant:calcul_du_determinant_d_une_matrice_wikipedia_2020-04-28_11_17_01_pm_.html |Archive du 21/02/2020 le 28/04/2020}}

Exemple :

$
\require{color}
\definecolor{blue}{RGB}{0,0,255}
\definecolor{red}{RGB}{255,0,0}
\begin{align*}
    \left[\begin{matrix}
          \color{red}-1 & \color{red}2 & \color{red}5 \\
          1 & 2 & 3 \\
          -2 & 8 & 10 \\
    \end{matrix}\right] &=
    {\color{red}-1} \left[\begin{matrix}
             2 & 3 \\
             8 & 10 \\
    \end{matrix}\right] {\color{blue}-}{\color{red}2}
    \left[\begin{matrix}
          1  &  3 \\
          -2 & 10 \\ 
    \end{matrix}\right] {\color{red}+5}
    \left[\begin{matrix}
            1 & 2 \\
           -2 & 8 \\
    \end{matrix}\right] \\
    &= {\color{red}-1} (2 \times 10 - 3 \times 8 ) {\color{blue}-}{\color{red}2} (1 \times 10 - 3 \times (-2)) {\color{red}+5} (1 \times 8 - 2 \times (-2)) \\
    &= 32
\end{align*}
$

[[http://homeomath2.imingo.net/determinant.htm|Exemple de calcul du déterminant d'une matrice 3 x 3]] {{ :math:matrices:determinant:exemple_de_calcul_du_determinant_d_une_matrice_3_x_3_-_homeomath_2020-04-28_11_17_09_pm_.html |Archive du 2015 le 28/04/2020}}

====Comatrice====
$$\left(\operatorname{com}A\right)_{i,j}=(-1)^{i+j}\det\left(A_{i,j}\right)$$
  * $A_{i,j}$ la matrice $A$ sans la ligne $i$ et la colonne $j$

Exemple :

$
\begin{align*}
B &= \left[\begin{matrix}
 1 &  2 &  3 \\
 0 &  1 &  2 \\
-1 & -4 & -1
\end{matrix}\right] \\

com(B) &= \left[\begin{matrix}
+det\left[\begin{matrix}1 & 2 \\ -4 & -1\end{matrix}\right] & -det\left[\begin{matrix}0 & 2 \\ -1 & -1\end{matrix}\right] & +det\left[\begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & -4\end{matrix}\right] \\
-det\left[\begin{matrix}2 & 3 \\ -4 & -1\end{matrix}\right] & +det\left[\begin{matrix}1 & 3 \\ -1 & -1\end{matrix}\right] & -det\left[\begin{matrix}1 & 2 \\ -1 & -4\end{matrix}\right] \\
+det\left[\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 2\end{matrix}\right] & -det\left[\begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & 2\end{matrix}\right] & +det\left[\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{matrix}\right] \\
\end{matrix}\right] =

\left[\begin{matrix}
 7  &  -2 &  1 \\
-10 &  2 &  2 \\
1  & -2 & 1
\end{matrix}\right]

\end{align*}
$