LG

• Équation

$y' + a(x) \cdot y = 0$

• Solution

$y_0(x) = k_0 \cdot e^{ -A }$ avec $A = \int a(x) dx$ et $k_0$ la condition initiale.

• Équation

$y' + a(x) \cdot y = b(x)$

• Solution

$y(x) = y_0(x) + \bar y(x) $ avec $\bar y(x) = \int \left ( b(x) \cdot e^A \right ) dx \cdot e^{-A}$, soit :

$y(x) = e^{-A} \cdot \left (\int \left ( e^A \cdot b(x) \right ) dx + k_0 \right )$

• Démonstration

Méthode de la variation de la constante. On remplace la constante de la formule sans second membre par une fonction à déterminer.

$ \bar y(x) = K(x) \cdot e^{ -A(x) } $

Et on remplace dans la formule avec second membre :

$\begin{align} b & = \bar y' & + & a \cdot \bar y \\ & = K' \cdot e^{ -A } + K \cdot (-A' \cdot e^{ -A }) & + & a \cdot K \cdot e^{ -A } \\ & = K' \cdot e^{ -A } - a \cdot K \cdot e^{ -A } & + & a \cdot K \cdot e^{ -A } \\ & = K' \cdot e^{ -A } \end{align}$

$K' = b \cdot e^A => K(x) = \int \left ( e^A \cdot b(x) \right ) dx$

En remplaçant $K'$ dans la formule initiale, on obtient bien le résultat :

$\bar y(x) = \int \left ( b(x) \cdot e^A \right ) dx \cdot e^{-A}$

$y'' + a \cdot y' + b = 0$

• Discriminant

$\Delta = \sqrt{a^2 - 4 \cdot b}$

• Racines

$r_{1/2} = \frac{-a \pm \sqrt{\Delta}}{2}$

• Solution 1,
  • si $a, b \in \mathbb C $ et $\Delta \neq 0$ ou,
  • si $a, b \in \mathbb R $ et $r_1$ et $r_2$ réels et distincts

$y(x) = A \cdot e^{r_1 x} + B \cdot e^{r_2 x}$

• Solution 2
  • si $\Delta = 0$

$y(x) = (A \cdot x + B) \cdot e ^ {rx}$

• Solution 3
  • si $a, b \in \mathbb R $ et $r_1$ et $r_2$ complexes

Soit $r_{1/2} = \alpha \pm i \beta$

$y(x) = \left ( A \cdot cos(\beta \cdot x) + B \cdot sin(\beta \cdot x) \right ) \cdot e^{\alpha x}$

Peu importe le signe de $\beta$, car A et B peuvent être négatifs.

Il n'existe pas de solution générale. Cependant, la solution particulière peut être déduite de la forme du second membre.

Les rubriques ci-dessous décrivent la forme du second membre $f(t)$ et la forme de la solution particulière associée $y_2(t)$.

Si le second membre est une constante, la solution particulière est une constante.

$f(t) = a$

$y_2(t) = b$

$f(t) = a \cdot t+b$

$y_2(t) = c \cdot t+d$

$f(t) = cos (\omega \cdot t)$

$y_2(t) = K \cdot cos (\omega \cdot t + \phi)$

$f(t) = e ^ {m \cdot t}$ avec $m \in \mathbb K$

$y_2(t) = q \cdot e ^ {m \cdot t}$ si $m$ n'est pas racine de $X^2+a \cdot X+b$

$y_2(t) = q \cdot t \cdot e ^ {m \cdot t}$ si $m$ est simple de $X^2+a \cdot X+b$

$y_2(t) = q \cdot t^2 \cdot e ^ {m \cdot t}$ si $m$ est racine double de $X^2+a \cdot X+b$