LG

Équation : $y' + a(x) \cdot y = 0$

Solution : $y_0(x) = k_0 \cdot e^{ -A \cdot x }$ avec $A = \int a(x) dx$ et $k_0$ la condition initiale

Équation : $y' + a(x) \cdot y = b(x)$

Solution : $y(x) = y_0(x) + \bar y(x) $ avec $\bar y(x) = \int \left ( b(x) \cdot e^A \right ) dx \cdot e^{-A}$, soit :

$y(x) = e^{-A} \cdot \left (\int \left ( e^A \cdot b(x) \right ) dx + k_0 \right )$

Équation : $ay'' + by' + c = 0$

Discriminant $\Delta = \sqrt{b^2 - 4ac}$

Racines : $r_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Solution 1 : $r_1$ et $r_2$ réels et distincts : $y(x) = A \cdot e^{r_1 x} + B \cdot e^{r_2 x}$

Solution 2 : $r_1$ et $r_2$ réels et identiques : $y(x) = (A \cdot x + B) \cdot e ^ {r_1x}$

Solution 3 : $r_1$ et $r_2$ complexes ($r_{1/2} = \alpha \pm i \beta$) : $y(x) = \left ( A \cdot cos(\beta x) + B \cdot sin(\beta x) \right ) \cdot e^{\alpha x}$. Attention au signe de $\beta$.