Table des matières
Notations
| Notation | Description |
|---|---|
| $A_{ij}$ | Valeur de l'élément dans la matrice A à la ligne i et à la colonne j. |
| Déterminant ($det$) | Nombre caractérisant une matrice et servant dans l'inversion d'une matrice, dans l'établissement d'une base, et de nombreux autres cas (calcul d'aire, vecteur euclidien). Si la matrice est triangulaire, son déterminant est le produit des nombres sur la diagonale. |
| Trace ($tr$) | Somme des valeurs en diagonale (en haut à gauche vers le bas à droite) d'une matrice carrée. |
| Matrice identité ($I$ ou $I_n$) | Matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs. |
| Matrice transposée (${}^t\!A$) | Inversion de lignes et des colonnes. |
Propriétés
Valeur propre
| Si | Alors |
|---|---|
| $A$ triangulaire | Les valeurs propres sont sur la diagonale. |
| Matrice inversible Matrice régulière Matrice non singulière | $det(A) \neq 0$ Pas de valeur propre nulle |
| Matrice définie positive | Toutes les valeurs propres sont strictement positives. |
| Matrice symétrique ($\in \mathbb R$) | Les valeurs propres sont réelles. |
| 2 matrices semblables | Les deux matrices ont les mêmes valeurs propres. |
Déterminant
| Si | Alors |
|---|---|
| $A = B × C$ | $det(A) = det(B) * det(C)$ |
| Si $A$ inversible | $det(A) = $ produit des valeurs propres. Donc si $A$ est triangulaire, $det(A) = $ produits des termes diagonaux. |
Matrice
| Expression | Définition |
|---|---|
| Matrice symétrique ($\in \mathbb R$) | $A = {}^t\!A$ |
| Matrice hermitienne (symétrie avec $A \in \mathbb C$) | $A = {}^t\!\overline{A}$ |
| Matrice orthogonale | ${}^t\!A = A^{-1}$ |
| Matrice normale, est diagonalisable | ${}^t\!A A = A {}^t\!A$ |
| Matrice à diagonale strictement dominante | $\forall j \in [1,N], \sum_{i=1,i \neq j}^N |a_{ji}| < |a_{ii}|$ |
| Matrice involutive | $A^2 = I_N$ |
| Norme matricielle subordonnée | $|||A|||$ |
| Soit | On vérifie |
|---|---|
| $A = B × C$ | ${}^t\!A = {}^t\!C × {}^t\!B$ |
Calculs
$|Tr({}^t\!B A)| = |Tr({}^t\!A B)| \le Tr({}^t\!A A)^{1/2}Tr({}^t\!B B)^{1/2}$
Rayon de Gershgorin : soit $\lambda$ une valeur propre de $A$. Soit $x$ le vecteur propre associé. Soit ${}_i$ l'indice du max de $|x|$.
$|A_{ii}-\lambda| \le \sum_{j \neq i}|A_{ij}|$
Produit scalaire
$ \begin{align*} {}^t\!xAy &= \left( {}^t\!Ax \right) \cdot y = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i y_j \end{align*} $
Norme matricielle vectorielle
$\|A\|_p = \left ( \sum_{i,j=1}^N |a_{ij}|^p \right )^{1/p}$
$\|A\|_2 = Tr({}^t\!A A)^{1/2}$
Norme matricielle subordonnée
$|||A|||_p = \underset{x \neq 0 \in \mathbb R^N}{sup} \frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p}$ avec x le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre.
$|||AB|||_p \le |||A|||_p \cdot |||B|||_p$
$|||\lambda A|||_p = |\lambda| \cdot |||A|||_p$
$|||A+B|||_p \le |||A|||_p+|||B|||_p$
$|||A|||_1 = $ max de la somme de chaque colonne, chaque cellule en valeur absolue.
$|||A|||_\infty = $ max de la somme de chaque ligne, chaque cellule en valeur absolue.
Si A symétrique : $|||A|||_2 = $ max de la valeur propre en valeur absolue.
Calibre spectral
$C(A)^2 \le |||A|||_p |||{}^t\!A|||_p$
$C(A) = |||A|||_2 \ge \underset{j=1,N}{max \lambda_j}$. Vaut l'égalité si A est diagonalisable. Mais dans ce cas, on utilise $\varrho(A)$ qui est le rayon spectral.