LG

$$\det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{i;j} (-1)^{i+j}\det(A_{i,j})$$

• $A_{i,j}$ la matrice $A$ sans la ligne $i$ et la colonne $j$,
• $det(A)$ si $A$ est de dimension $2 \times 2 : a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}$.

Inconvénient : il faut $N.N!$ multiplications.

Calcul du déterminant d'une matrice Archive du 21/02/2020 le 28/04/2020

Exemple :

$ \require{color} \definecolor{blue}{RGB}{0,0,255} \definecolor{red}{RGB}{255,0,0} \begin{align*} \left[\begin{matrix} \color{red}-1 & \color{red}2 & \color{red}5 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 8 & 10 \\ \end{matrix}\right] &= {\color{red}-1} \left[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 10 \\ \end{matrix}\right] {\color{blue}-}{\color{red}2} \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ -2 & 10 \\ \end{matrix}\right] {\color{red}+5} \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & 8 \\ \end{matrix}\right] \\ &= {\color{red}-1} (2 \times 10 - 3 \times 8 ) {\color{blue}-}{\color{red}2} (1 \times 10 - 3 \times (-2)) {\color{red}+5} (1 \times 8 - 2 \times (-2)) \\ &= 32 \end{align*} $

Exemple de calcul du déterminant d'une matrice 3 x 3 Archive du 2015 le 28/04/2020

$$\left(\operatorname{com}A\right)_{i,j}=(-1)^{i+j}\det\left(A_{i,j}\right)$$

• $A_{i,j}$ la matrice $A$ sans la ligne $i$ et la colonne $j$

Exemple :

$ \begin{align*} B &= \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -4 & -1 \end{matrix}\right] \\ com(B) &= \left[\begin{matrix} +det\left[\begin{matrix}1 & 2 \\ -4 & -1\end{matrix}\right] & -det\left[\begin{matrix}0 & 2 \\ -1 & -1\end{matrix}\right] & +det\left[\begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & -4\end{matrix}\right] \\ -det\left[\begin{matrix}2 & 3 \\ -4 & -1\end{matrix}\right] & +det\left[\begin{matrix}1 & 3 \\ -1 & -1\end{matrix}\right] & -det\left[\begin{matrix}1 & 2 \\ -1 & -4\end{matrix}\right] \\ +det\left[\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 2\end{matrix}\right] & -det\left[\begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & 2\end{matrix}\right] & +det\left[\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{matrix}\right] \\ \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 7 & -2 & 1 \\ -10 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{matrix}\right] \end{align*} $