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Soit $\lambda$ valeur propre et $\omega$ vecteur propre, alors $A \omega = \lambda \omega$

Il faut résoudre $det(A-I_n x) = 0$ avec les solutions de $x$ toutes les valeurs propres.

Dans le cas d'une matrice diagonale, les valeurs propres sont sur la diagonale.

Condition : $A$ matrice symétrique.

$$X^{n+1/2} = (A - μ I)^{-1} X^n$$

avec $μ$ une valeur proche de la valeur propre à trouver avec $μ < \lambda$ et $X^0$ une valeur approchée du vecteur propre et $(X^0, \omega)$.

$$X^n = \frac{X^{n+1/2}}{\left\|X^{n+1/2}\right\|}$$

$$R^n = (X^{n+1/2},X^n)$$

La valeur propre vaut $\lambda * \frac{1}{R^{\infty}} + μ$ et le vecteur propre vaut $\lambda = X^n$.

Exemple :

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix}$$

On pose $μ = 1$.

$$(A - μ I)^{-1} = \begin{pmatrix} 0.625 & -0.125 & -0.125 \\ -0.125 & 0.625 & -0.375 \\ -0.125 & -0.375 & 0.625 \\ \end{pmatrix}$$

On pose $$\omega = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$$

$$X^{1/2} = \begin{pmatrix} -0.125 \\ -0.375 \\ 1.625 \\ \end{pmatrix}$$

$$X^1 = \begin{pmatrix} -0.074744 \\ -0.224231 \\ 0.971666 \\ \end{pmatrix}$$

$$X^5 = \begin{pmatrix} -0.067514 \\ -0.685836 \\ 0.724618 \\ \end{pmatrix}$$

$$X^{40} = \lambda = \begin{pmatrix} 0 \\ -0.707107 \\ 0.707107 \\ \end{pmatrix}$$

$$R^{40} = 1$$

$$\lambda = \frac{1}{1} + 1 = 2$$