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Table des matières
Définitions
Soit $\lambda$ valeur propre et $\omega$ vecteur propre, alors $A \omega = \lambda \omega$
Détermination
Scolaire
Il faut résoudre $det(A-I_n x) = 0$ avec les solutions de $x$ toutes les valeurs propres.
Dans le cas d'une matrice diagonale, les valeurs propres sont sur la diagonale.
Itérative, algorithme élémentaire
Condition : $A$ matrice symétrique, définie positive (pas obligatoire, à tester), valeurs propres distinctes (qu'est-ce que ça change ?).
Méthode basique
$$X^{n+1/2} = (A - μ I)^{-1} X^n$$
avec $μ$ une valeur proche de la valeur propre à trouver avec $μ < \lambda$ et $X^0$ une valeur approchée du vecteur propre et $(X^0, \omega)$.
$$X^n = \frac{X^{n+1/2}}{\left\|X^{n+1/2}\right\|}$$
$$R^n = (X^{n+1/2},X^n)$$
La valeur propre vaut $\lambda * \frac{1}{R^{\infty}} + μ$ et le vecteur propre vaut $\lambda = X^n$.
Exemple :
$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix}$$
On pose $μ = 1$.
$$(A - μ I)^{-1} = \begin{pmatrix} 0.625 & -0.125 & -0.125 \\ -0.125 & 0.625 & -0.375 \\ -0.125 & -0.375 & 0.625 \\ \end{pmatrix}$$
On pose $$\omega = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$$
$$X^{1/2} = \begin{pmatrix} -0.125 \\ -0.375 \\ 1.625 \\ \end{pmatrix}$$
$$X^1 = \begin{pmatrix} -0.074744 \\ -0.224231 \\ 0.971666 \\ \end{pmatrix}$$
$$X^5 = \begin{pmatrix} -0.067514 \\ -0.685836 \\ 0.724618 \\ \end{pmatrix}$$
$$X^{40} = \lambda = \begin{pmatrix} 0 \\ -0.707107 \\ 0.707107 \\ \end{pmatrix}$$
$$R^{40} = 1$$
$$\lambda = \frac{1}{1} + 1 = 2$$
Accélération
On peut accélérer la convergence :
$$X^{n+1/2} = (A - μ I)^{-1} \left( 1 + \frac{1}{R^n} \right) X^n$$
Exemple :
$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix}$$
On pose $μ = 1$.
$$(A - μ I)^{-1} = \begin{pmatrix} 0.625 & -0.125 & -0.125 \\ -0.125 & 0.625 & -0.375 \\ -0.125 & -0.375 & 0.625 \\ \end{pmatrix}$$
On pose $$\omega = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$$
On norme $\omega$.
$$X^{0} = \begin{pmatrix} 0.218218 \\ 0.436436 \\ 0.872872 \\ \end{pmatrix}$$
$$X^{1/2} = \begin{pmatrix} -0.027277 \\ -0.081832 \\ 0.354604 \\ \end{pmatrix}$$
$$R^1 = 0.267857$$
On ne connait pas $R^0$.
$$X^1 = \begin{pmatrix} -0.074744 \\ -0.224231 \\ 0.971666 \\ \end{pmatrix}$$
$$X^{1+1/2} = \begin{pmatrix} -0.663349 \\ -2.34393 \\ 3.31674 \\ \end{pmatrix}$$
$$R^{2} = 3.79791$$
$$X^{2} = \begin{pmatrix} -0.161197 \\ -0.569563 \\ 0.805986 \\ \end{pmatrix}$$
$$R^{3} = 1.23655$$
$$X^{3} = \begin{pmatrix} -0.132438 \\ -0.648537 \\ 0.749573 \\ \end{pmatrix}$$
$$R^{5} = 1.55162$$
$$X^{5} = \begin{pmatrix} -0.067514 \\ -0.685836 \\ 0.724618 \\ \end{pmatrix}$$
On converge légèrement plus vite en 35 itérations.
Recherche de la valeur propre suivante et supérieure
$$X^{n+1/4} = (A - μ I)^{-1} X^n$$
$$X^{n+1/2} = X^{n+1/4} - (X^{n+1/4}, \omega) \omega$$
Exemple :
$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix}$$
On pose $μ = 1$.
$$(A - μ I)^{-1} = \begin{pmatrix} 0.625 & -0.125 & -0.125 \\ -0.125 & 0.625 & -0.375 \\ -0.125 & -0.375 & 0.625 \\ \end{pmatrix}$$
$$\omega = \begin{pmatrix} 0 \\ -0.707107 \\ 0.707107 \\ \end{pmatrix}$$
$$X^{0} = \begin{pmatrix} 0.218218 \\ 0.436436 \\ 0.872872 \\ \end{pmatrix}$$
$$X^{0+1/4} = \begin{pmatrix} -0.027277 \\ -0.081832 \\ 0.354604 \\ \end{pmatrix}$$
$$X^{0+1/2} = \begin{pmatrix} -0.085728 \\ -0.198734 \\ 0.120799 \\ \end{pmatrix}$$
$$X^{1} = \begin{pmatrix} -0.345867 \\ -0.801784 \\ 0.487359 \\ \end{pmatrix}$$
$$X^{5} = \begin{pmatrix} -0.931698 \\ -0.256854 \\ 0.256854 \\ \end{pmatrix}$$
$$X^{13} = \begin{pmatrix} -0.92941 \\ -0.260956 \\ 0.260956 \\ \end{pmatrix}$$
$$R^{13} = 0.695194$$
Soit $\lambda_2 = 2.43845$