LG

• Si une suite converge dans un espace vectoriel (ex. $\|x\|_2$ ou $|||A|||_2$), elle converge dans tous les autres espaces vectoriels.

• La suite $x^{p+1} = S x^p + d$ converge si le rayon spectral de S (plus grande valeur propre) est inférieur à 1.

• Soit $A = M - N$, la suite $x^{p+1} = M^{-1} N x^p + M^{-1} b$ converge si $M + {}^t\!N$ est définie positive.

Soit $A = D - E - F$ avec D matrice diagonale, $-E$ matrice diagonale triangulaire inférieure de $A$, $-F$ matrice diagonale triangulaire supérieure de $A$.

$$x^{p+1} = D^{-1}(E+F)x^p+D^{-1}b$$

Critère de convergence : $A$ est à diagonale strictement dominante pour que la matrice d'itération $D^{-1} (E+F)$ ait un rayon spectral inférieur à 1.

$X^{n+1} = X^n-\varrho(AX^n-b)$ avec $A$ symétrique. On obtient le minimum de $\frac{1}{2} (AX,X)_N-(b,X)_N$.