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• Si une suite converge dans un espace vectoriel (ex. $\|x\|_2$ ou $|||A|||_2$), elle converge dans tous les autres espaces vectoriels.

• La suite $x^{p+1} = S x^p + d$ converge si le rayon spectral de S (plus grande valeur propre) est inférieur à 1.

• Soit $A = M - N$, la suite $x^{p+1} = M^{-1} N x^p + M^{-1} b$ converge si $M + {}^t\!N$ est définie positive.

Soit $A = D - E - F$ avec D matrice diagonale, $-E$ matrice diagonale triangulaire inférieure de $A$, $-F$ matrice diagonale triangulaire supérieure de $A$.

$$x^{p+1} = D^{-1}(E+F)x^p+D^{-1}b$$

Critère de convergence : $A$ est à diagonale strictement dominante pour que la matrice d'itération $D^{-1} (E+F)$ ait un rayon spectral inférieur à 1.

Exemple :

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix}$$

et b l'objectif : $$b = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$$

Le résultat attendu est $$x = \begin{pmatrix} 0.264706 \\ 0.279412 \\ 0.926471 \\ \end{pmatrix}$$

On y va : $$D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}$$ $$D^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & -1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 \\ \end{pmatrix}$$ $$E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix}$$ $$F = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$ $$E+F = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix}$$ $$D^{-1}(E+F) = \begin{pmatrix} 0 & -1/3 & -1/3 \\ 1/4 & 0 & 1/2 \\ 1/4 & -1/2 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

On pause : $$x^0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$$ $$x^{1} = D^{-1}(E+F)x^0+D^{-1}b$$ $$x^1 = \begin{pmatrix} 0.66666 \\ -0.25 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$ $$x^2 = \begin{pmatrix} 0.4166 \\ 0.4166 \\ 1.2916 \\ \end{pmatrix}$$ $$x^5 = \begin{pmatrix} 0.334491 \\ 0.1875 \\ 0.939236 \\ \end{pmatrix}$$ $$x^{10} = \begin{pmatrix} 0.269286 \\ 0.283549 \\ 0.937478 \\ \end{pmatrix}$$ $$x^{20} = \begin{pmatrix} 0.264648 \\ 0.27936 \\ 0.926332 \\ \end{pmatrix}$$ $$x^{30} = \begin{pmatrix} 0.264707 \\ 0.279412 \\ 0.926472 \\ \end{pmatrix}$$

$$x^{p+1} = (I-\varrho A) x^p + \varrho b$$

Critère de convergence :

• rayon spectral de $I-\varrho A$ soit inférieur à 1
• $0 < \varrho < 2 / \lambda_N$.

Valeur optimale de $\varrho =\frac{2}{\lambda_1 + \lambda_N}$