math:vecteurs
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Table des matières
Définitions
| Notation | Description |
|---|---|
| Produit scalaire : $x \cdot y$ ou $(x,y)$ | Soit deux vecteurs colonnes de même taille n $x \cdot y = {}^t\!x y$ |
Normes
| Nom | Calcul |
|---|---|
| Norme euclidienne | $\|\vec{x}\|_2 = \|\vec{x}\|_E = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$ |
| Norme p | $\|\vec{x}\|_p = \sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^p}$ |
| Norme infini | $\|\vec{x}\|_\infty = sup(|x_i|) = max(|x_i|)$, même si deux valeurs identiques |
Calculs
$\|\lambda\vec{x}\|_V = \mid \lambda \mid \|\vec{x}\|_V$
$\|\vec{x} + \vec{y}\|_V \le \|\vec{x}\|_V + \|\vec{y}\|_V$
$\|\vec{x}\|_V = 0 \Leftrightarrow \vec{x} = \vec{0}$
$\sum_{i=1}^{N} \mid x_i \mid \mid y_i \mid \le \|\vec{x}\|_2 \|\vec{y}\|_2$ (inégalité de Schwarz)
$\|\vec{x} + \vec{y}\|_p \le \|\vec{x}\|_p + \|\vec{y}\|_p$
$\frac{\|\vec{x}\|_1}{N} \le \|\vec{x}\|_{\infty} \le \|\vec{x}\|_1$
$\frac{\|\vec{x}\|_2}{\sqrt{N}} \le \|\vec{x}\|_{\infty} \le \|\vec{x}\|_2$
$\frac{\|\vec{x}\|_1}{\sqrt{N}} \le \|\vec{x}\|_2 \le \|\vec{x}\|_1$
Produit scalaire
$ \begin{align*} {}^t\!xy &= \sum_{i=1}^n x_i y_i \\ \end{align*} $
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